C/C++高精度运算(大整数运算)详细讲解

时间:2022-11-09 小白还在写代码人气:0

前言

高精度的运算在算法题尤为常见，在处理一些大型数据的项目中也需要用到。虽然Boost库中有处理高精度问题的模板，但是标准库中并没有。为了方便学习，本文提供了高精度运算的模板，供大家参考。

什么是大整数

众所周知，最大的整型long long的范围是【-9223372036854775808~9223372036854775807】，即使是无符号位的unsigned long long最大值也只是扩大一倍，那当题目需要用到或需要输出比long long类型的范围还要大的数字时，我们是不是就不能用常规办法去接收这些数字了。这个时候使用大整数就可以解决上述问题——也就是解决接收超出整型范围数字的问题。

大整数的表示

其实大整数的表示方法也不难，我们使用数组就可以了（当然C++的vector容器也是可以的，原理都一样，但为了照顾C语言的小伙伴，本文用数组表示）。

假设现在有一个int类型数组d[1000]，那么我们可以用数组中的每一位元素表示大整数中的每一位数字，比如有整数123456789，那么我们可以用d[0]表示亿位上的【1】，用d[1]表示千万位上的【2】...以此类推，我们就可以用一个长度为9的数组表示这个大整数了。

当然为了契合我们后面四则运算的思维，我们将数组元素的顺序翻转一次，也就是在数组靠前的元素表示低位，而靠后的元素表示高位（原因后面会讲到），也就是如下图所示：

而为了方便我们获取当前大整数的长度，我们可以使用一个结构体（或者一个类，与C语言的结构体不同，在C++中的结构体也可以定义成员函数）来表示。

//struct of bign(big number)
struct bign {
    int d[1000];
    int len;
	bign()//构造函数
	{
		this->len = 0;
		memset(d, 0, sizeof(d));
	}
};

当然，一般输入大整数时，都是先用字符串读入，然后再把字符串另存为至bign结构体。

bign change(const string str)//将整数转换为begin c语言用const char* 
{
	bign a;
	a.len = str.size();//bign的长度就是字符串的长度 c语言用strlen()函数
	for (int i = 0; i < a.len; i++)
	{
		a.d[i] = str[a.len - i - 1] - '0';
	}
	return a;
}

大整数的运算

对于大整数的四则运算，我们需要模拟在小学期间学习四则运算的思路和过程，也就是把我们在草稿纸上运算的过程，抽象成代码的逻辑。

1、高精度加法

加法实现方式与我们以前学到的加法一样。对于某一位的运算：我们将该位上的两个数字与进位相加，得到的结果取个位数作为该结果，十位数作为新的进位。

bign add(bign a, bign b)
{
	bign c;
	int carry = 0;	//carry是进位标志
	for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) //以较长的为界限 
	{
		int temp = a.d[i] + b.d[i] + carry;		//两个对应位与进位相加 
		c.d[c.len++] = temp % 10;		//取个位数为该位的结果 
		carry = temp / 10;	//取十位数为新的进位 
	}
	if (carry) //如果最后的进位不为0，则直接赋给结果的最高位  
	{
		c.d[c.len++] = carry;
	}
	return c;
}

这里要注意，这样写法的条件是两个对象都是非负整数。如果有双方异号，可以在转换到数组这一步时去掉符号，再使用高精度减法；如果双方都为负数，那么去掉负号后采用高精度加法，最后负号加回去即可。

2、高精度减法

通过对减法步骤的拆分可以得到一个简练的步骤：对某一位，比较被减位和减位，如果不够减，则令被减位的高位减1，被减位加10再进行减法（借一位）；如果够减，那就直接减。最后需要注意减法后高位可能有多余的0，要去除它们，但要保证结果至少有一位数。

bign sub(bign a, bign b) //a - b
{
	bign c;
	for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) //以较长的为界限
	{
		if (a.d[i] < b.d[i]) //不够减 
		{
			a.d[i + 1]--;	//向高位借位 
			a.d[i] += 10; 	//向前位借10  
		}
		c.d[c.len++] = a.d[i] - b.d[i];		//减法结果为当前位 
	}
	while (c.len >= 2 && c.d[c.len - 1] == 0)    //剩余的位数不小于十位，并且最高位是0
	{
		c.len--;	//去除高位的0，同时至少保留一位最低位 
	}
	return c;
}

3、高精度乘以低精度

所谓高精度乘以低精度，就是bign*int的运算。

对某一位来说是这样的步骤：取bign的某位与int型整体相乘，再与进位相加，所得结果的个位数作为该结果，高位部分作为新的进位。对于a、b异号的情况只需要一个标志位变量记录，在输出的时候加上负号就行了。

bign multi(bign a, int b)
{
	bign c;
	int carry = 0;	//进位
	for (int i = 0; i < a.len; i++)
	{
		int temp = a.d[i] * b + carry;
		c.d[c.len++] = temp % 10;		//个位作为该结果
		carry = temp / 10;	//高位部分作为新的进位 
	}
 
	while (carry != 0) //和加法不一样，乘法的进位可能不止一位，因此用while 
	{
		c.d[c.len++] = carry % 10;
		carry /= 10;
	}
	return c;
}

4、高精度除以低精度

高精度除以低精度，就是bign/int的运算。考虑到有时还需要知道计算之后的余数，于是就把余数写成引用的形式传入，当然也可以把余数设成全局变量。

对于某一位来说：上一步的余数乘以10加上该步的位，得到该步当前的被除数，将其与除数比较；如果不够除，则该位的商为0；如果够除，则商即为对应的商，余数即为对应的余数。和其他运算一样，要注意结果可能有多余的0，要去掉它们，但也要保证结果至少有一位数。

bign divide(bign a, int b, int& r) //r为余数 
{
	bign c;
	c.len = a.len;//被除数的每一位和商的每一位是一一对应的，因此先令长度相等 
	for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--)  //从高位开始 
	{
		r = r * 10 + a.d[i];		//和上一位遗留的余数组合
		if (r < b) c.d[i] = 0;		//不够除，该位为0 
		else //够除 
		{
			c.d[i] = r / b;	//商
			r = r % b;		//获得新的余数 
		}
	}
	while (c.len >= 2 && c.d[c.len - 1] == 0)
	{
		c.len--; //去除高位的0，同时至少保留一位最低位 
	}
	return c;
}

如果大家对于上述的逻辑还不清楚的话，可以自己在稿纸上举例几个简单的数算算，实际思路和我们运算时的思路是一样的哈。

大整数的表示

最后，当我们要打印出大整数时则要注意了，在上文中，我们为了方便运算，将数组中的位序翻转了一次，所以打印时就是需要从后往前输出。

而如果我们输入的数据是【04】，那么输出的结果就不是单纯的【4】了，一般来说这不是我们想要的结果是吧。那么为了解决这个问题，我们可以在打印的时候加上一个标志位来判断。

void print(bign ans)
{
	int flag = 0;
	for (int i = ans.len - 1; i >= 0; i--)
	{
		if (ans.d[i] != 0)    //标志位如果首位是0 则不输出
		{
			flag = 1;
		}
		if (flag)
		{
			cout << ans.d[i];
		}
	}
	if (!flag)
		cout << 0;    //包含输出0的情况
}

补充：使用示例

例题1(贪心+大整数)

题目：洛谷P1080 国王游戏

分析

此题需要先贪心找到排序规律为按照每个人的左右手乘积非降序排列,在计算最小值时累乘的过程中可能数字溢出，所以要使用大整数，但是根据题目描述大整数开100001位是不够的需要开的更大,但是实际测试数据并没有这么大。

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 10001;
pair<int,int> nums[maxn];	//first 右手,second左手

struct bign{	//存123时: d={3,2,1}llen =3; 
	int d[maxn];
	int len;
	bign(){
		memset(d,0,sizeof(d));
		len = 0;}
}res,sum,ans;	//res最终结果,sum累乘结果,ans比较变量

bign multi(bign a,int b){	//高精度大整数与低精度的乘法
	bign c;
	int carry = 0; //进位
	for(int i=0;i<a.len;i++){
		int temp = a.d[i]*b + carry;
		//printf("%d*%d+%d\n",a.d[i],b,carry);
		c.d[c.len++] = temp%10;
		carry = temp / 10;
	} 
	while(carry!=0){
		c.d[c.len++] = carry%10;
		carry/=10;
	}
	return c;
}

bign divide(bign a,int b,int& r){	//高精度除以低精度,r为余数 
	bign c;
	c.len = a.len;
	r=0;
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--){
		r = r*10 + a.d[i];
		if(r<b) c.d[i] = 0;
		else{
			c.d[i] = r/b;
			r %= b;
		}
	}
	while(c.len-1>=1&&c.d[c.len-1]==0){
		c.len--;
	}
	return c;
}

int compare(bign a,bign b){	//比较a和b的大小,a>b返回1,相等返回0,a<b返回-1 
	if(a.len>b.len) return 1;
	if(a.len<b.len) return -1;
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--){
		if(a.d[i]>b.d[i]) return 1;
		if(a.d[i]<b.d[i]) return -1;
	}
	return 0;
}

void print(bign a){	//输出大整数 
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
		printf("%d",a.d[i]);
	return;
}

int cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b){
	return a.first*a.second<b.first*b.second;
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d %d",&nums[0].first,&nums[0].second);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d %d",&nums[i].first,&nums[i].second);
	sort(nums+1,nums+1+n,cmp);
	sum.d[0] = 1; sum.len = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int r = 0;	//存余数 
		sum = multi(sum,nums[i-1].first);
		ans = divide(sum,nums[i].second,r);
		if(compare(ans,res)==1)
			res = ans;
	}
	print(res);
	return 0;
}

总结

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