C语言希尔排序

“至若春和景明，波澜不惊，上下天光，一碧万顷，沙鸥翔集，锦鳞游泳，岸芷汀兰，郁郁青青。”

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前言

学习希尔排序要先学习插入排序，希尔排序是在插入排序上的优化，可以这么说，插入排序你只要会了，希尔排序的学习也就是水到渠成。

一、插入排序

假如给你以下代码，让你对 5 4 3 2 1 排升序，你会怎么排？会怎么写？

5 4 3 2 1

void InsertSort(int* a, int n)
{
	//排序代码
}
int main()
{
	int arr[] = { 5,4,3,2,1 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	InsertSort(arr, sz);
	return 0;
}

1.排序思路

思路：总体来说是分治思想，把大问题化为小问题来解决。想让5,4,3,2,1有序。

1.第一趟：从下标为1的位置依次往后开始，先让5,4为升序

2.第二趟：来到下标为2的位置，让5,4,3为升序

3.第三趟：来到下标为3的位置，让5,4,3,2为升序

4.第四趟：来到下标为3的位置，让5,4,3,2,1为升序

这样下来，总体就都为升序了

所以总体来说，在最坏情况下。5个数排了(5-1)躺就有序了.

所以最坏情况下n个数排n-1躺才能有序。

2.单趟排序

万物归根，学习任何排序先从单趟排序开始。

可以说关键思想在单躺排序中。

以第三趟排序为例。因为这趟排序有画图意义

思路：

第三趟：来到下标为3的位置，让5,4,3,2为升序

1.起始状态。因为能走到第三趟排序，说明第一趟和第二趟已经排好序了，以红色线分割这时的数据为3 4 5 2 1

2.定义指针end指向有序序列的最后一个数，让tmp保存end+1位置的值。(这样可以防止end+1指向的值被覆盖后找不到)

3.开始打擂台赛。比较tmp的值和end的值的大小，然后end–。把比tmp大的值依次往后挪动。直到 end < 0越界 或者 tmp比end指向的值大时，单趟排序才完成。

详细图解

(1). tmp为 2 小于 5, 执行a[end+ 1] = a[end];把end+1上的值覆盖。end = end - 1。

(2). 2小于 4，继续重复以上步骤。

(3).2小于 4，继续重复以上步骤。

(4).end此时越界。直接跳出循环，将tmp赋值给a[end + 1];

这样就完成了单趟排序的解释。

3.整体代码

#include <stdio.h>
void InsertSort(int* a, int n)
{
	int i = 0;
	//总共n-1躺排序
	for (i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		//单趟排序
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];
		while (end >= 0)
		{
			//打擂台赛
			if (tmp < a[end])
			{
				a[end + 1] = a[end];
				end = end - 1;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 5,4,3,2,1 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	InsertSort(arr, sz);
	return 0;
}

4.时间复杂度

为了更好的展开对希尔排序叙述，不得不说一下插入排序的时间复杂度。

(1).最坏情况下

最坏情况下：对降序排降序。比如对5 4 3 2 1排升序。1.假如有n个降序的数。需要排n-1躺。

2.第1趟比较1次，第2趟比较2次，第3躺比较3次。第n-1躺排n-1次。

3.由 等差数列 前n项和公式 (首项 + 末项) * 项数 / 2 得。

T(n) = (n-1)*(1 + n - 1)/2

T(n) = (n-1)*n / 2

所以最坏情况下时间复杂度为(N-1)*N / 2。

4.由大O渐进法表示为O(N2)。

(2).最好情况下

最好情况下：对升序排升序。比如对1 2 3 4 5排升序。

这时，假如有n个元素。只需要对数组遍历一遍就够了，一遍也就是N-1次。

所以时间复杂度为O(N)

(3).基本有序情况下(重点)

例如：2 3 1 5 4

这个时候排升序，大概时间复杂度在 N ~ N2 之间接近 O(N).

5.算法特点

1.是稳定排序

2.代码简单，易实现

3.在数据接近有序 或者 已经有序的情况下，时间复杂度为O(N)

二、希尔排序

因 D.L.Shell 大佬于 1959 年提出而得名。

希尔排序(Shell’s Sort)是插入排序的一种又称“缩小增量排序”，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。——百度百科

假如给你以下数据和代码，让你写希尔法排 升序，你会怎么写？你会怎么排？

9,8,7,6,5,4,3,2,1

void ShellSort(int* a, int n)
{
	//排序代码
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,1,2,5,7,4,1,6,3,5 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	ShellSort(arr, sz);
	return 0;
}

1.希尔从哪个方面优化的插入排序？

1.因为插入排序有2个特性：当待排序的个数基本有序 和 数据个数较少 时 插入效率较高。

2.所以希尔排序基于这2个特性，先依据间隔(gap)对数据分成各个小组，然后对各组进行预排序，使得数据基本有序，最后再进行一次普通的插入排序使数据整体有序。

2.排序思路

排序实质：实质是采用分组插入的方法。

其实还是插入排序的思路。只是把数据分割为好几组。然后对每组进行插入排序。

整体思路：

1.算法先将要排序的一组数按某个增量gap分成若干组，每组中记录的下标相差gap.

2.对每组中全部元素进行预排序，然后再用一个较小的增量对它进行分组，在每组中再进行预排序。

3.当增量 等于1 时，整个要排序的数被分成一组，排序完成。(这时候相当于 普通的插入排序 了)

3.预排序

以以下10个元素为例。

9,1,2,5,7,4,1,6,3,5

预排序：是对各个间隔(gap) 不为1 的小组 进行直接插入排序。要理解这句话请继续往下看。

关于多少间隔分一组这个问题，怎么分？不要想那么多，按照以下规则分，你就自然懂了。分组规则：

1.间隔(gap)每次一半一半的分。直到最后gap == 1.

2.这样分其实每次都是折半的，常识来说：折半的时间复杂度都为O(LogN).

#include <stdio.h>
//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{
	//预排序
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		//每次gap折半
		gap = gap / 2;
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	ShellSort(arr, sz);
	return 0;
}

以上例子有10个数。那就可以达到5个间隔分一组。2个间隔分一组。还有最后的1个间隔分一组(预排序不包括gap == 1这一组)。

1.gap == 5的分一组进行间隔为5的插入排序。

此时排完序结果为 4 1 2 3 5 9 8 6 5 7

2.gap == 2的分一组，进行间隔(gap)为2的插入排序

此时排完序结果为 2 1 4 3 5 6 5 7 8 9

这时预排序已经完成。数据基本接近有序开始进行gap为1的插入排序。

4.正式排序

此时gap == 1.直接插入排序

5.整体代码

实质：其实就是加了一个预排序，然后把 插入排序任何为1的地方替换为 gap。

#include <stdio.h>
//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{
	//预排序
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 2;
		//进行间隔为gap的插入排序
		int i = 0;
		for (i = 0; i < n - gap; i++)
		{
			//单趟排序
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp < a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end = end - gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	ShellSort(arr, sz);
	return 0;
}

6.时间复杂度

在严蔚敏老师的书上没有具体说怎么算。因为涉及一些数学上尚未解决的难题。

只给了个结论，时间复杂度为O(N3/2)

在网上有一个很巧计算方法。只是估算。仅供参考

(1).while循环的复杂度

1.假如有n个数据。n一直初以2.最后要等于1.所以公式为n / 2 / 2 / 2 / 2 / 2… = 1.

2.所以设需要初以 x 个2。也就是要执行 x 次。所以n = 2x.

所以 x = Log2n.

3.每次gap减半的 ，也就是while循环的 时间复杂度就是Log2N

	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		//每次gap折半
		gap = gap / 2;
	}

(2).每组gap的时间复杂度

以下说法只是估算。

在预排序阶段。gap很大

1.gap很大很大时，数据跳的很快，差不多时间复杂度为O(N).正式排序时，gap == 1.

2.gap很小，因为数据接近有序，所以时间复杂度也差不多是O(N)

结论：

所以整个代码的时间复杂度为O(N*LogN).

希尔排序空间复杂度也是O(1)，因为还是只需要一个辅助空间tmp。