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图像检索

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TF-IDF

TF-IDF是一种用于信息检索的常用加权技术，在文本检索中，用以评估词语对于一个文件数据库中的其中一份文件的重要程度。词语的重要性随着它在文件中出现的频率成正比增加，但同时会随着它在文件数据库中出现的频率成反比下降。像‘的'，‘我们'，‘地'等这些常用词在所有文章中出现的频率会很高，并不能很好的表征一个文档的内容。

同样的在图像检索中也引入了IF-IDF权重，

词频(Term Frequency,TF) 一个visual word在一个图像中出现的频率的很高，则说明该visual word 能够很好的代表图像的内容。

逆文档词频(Inverse Document Frequency，IDF) 一些常见的word，会在每一图像出现的频率都很高，但是这些word并不能很好的表示图像的内容，所以要给这一部分word低一些的权重。IDF，描述一个word的普遍重要性，如古欧word在很多的图像中出现的频率都很高，则给予其较低的权重。

将分母+1是为了防止除数为0的情况出现。从上式中可以看出，包含当前word的图像个数越多，IDF的值越小，说明该词越不重要。反之，该词越重要。

计算得到了TF和IDF，则有

\[TF-IDF = TF * IDF\]

从TF和IDF的计算公式可以看出，IDF是针对整个图像数据库而言的，可以在训练完成后计算一次得到。而TF则是针对具体的某张图像来说的，需要多次计算。

将TF-IDF权值赋给BoW向量,再进行\(l_2\)的归一化，即可得到一个可用于图像检索的向量。

C++实现

void compute_idf(const vector<<vector<int>> &bow,vector<float> &idf){

    int img_count = bow.size();
    int clu_count = bow[0].size();

    idf = vector<float>(clu_count,1.0);

    for(int i = 0; i < img_count; i ++){
        for(int j = 0; j < clu_count; j ++){
            if(bow[i][j] != 0) idf[j] ++;
        }
    }

    for(int i = 0; i < idf.size(); i ++){
        idf[i] = log(img_count / idf[i]);
    }
}

上面代码计算的是图像库的IDF（IDF是针对整个图像库而言的）。
针对某一张图片，都需要计算一次TF。TF的计算公式：，可以看着是对图像的BoW向量进行\(l_1\)的归一化。

void compute_tf(const vector<int> &bow,vector<float> &tf){

    tf = vector<float>(bow.size(),0);

    int sum = 0; // All words in the image
    for(int i = 0; i < bow.size(); i ++){
        sum += bow[i];
    }

    for(int i = 0; i < bow.size(); i ++){
        tf[i] = (float)bow[i] / sum; 
    }
}

RootSift

在Arandjelovic和Zisserman 2012的论文 Three things everyone should know to improve object retrieval 提出了RootSift。

当比较直方图时，使用欧氏距离通常比卡方距离或Hellinger核时的性能差，但是在使用sift特征点为什么一直都使用欧氏距离呢？
不论是对sift特征点进行匹配，还是对sift特征集合进行聚类得到视觉词汇表，又或者对图像进行BoW编码，都使用的是欧氏距离。但是sift特征描述子本质上也是一种直方图，为什么对sift特征描述子进行比较的时候要使用欧氏距离呢，有没有一种更精确的比较方法呢？

sift描述子统计的是关键点邻域的梯度直方图，更详细的介绍可以参考图像检索(1): 再论SIFT-基于vlfeat实现

Zisserman 认为只所以一直使用欧氏距离来测量sift特征的相似度，是由于在sift提出的时候，使用的是欧氏距离的度量，可以找出一种比较欧氏距离更为精确的度量方法。Arandjelovic和Zisserman提出了RootSift对sift特征进行扩展。

在提取得到sift的描述向量\(x\)后，进行以下处理，即可得到RootSift
1.对特征向量\(x\)进行\(l_1\)的归一化(\(l_1-normalize\))得到\(x'\)
2.对\(x'\)的每一个元素求平方根
3.进行\(l_2-normalize\)，可选

最后一步，是否进行\(l_2\)的归一化，有些不一致。 在paper 并没有指出需要进行\(l_2\)的归一化，但是在presentation, 却有\(l_2\)归一化这一步。也有认为，显式地执行L2规范化是不需要的。通过采用L1规范，然后是平方根，已经有L2标准化的特征向量，不需要进一步的标准化。

Python实现

# import the necessary packages
import numpy as np
import cv2

class RootSIFT:
    def __init__(self):
        # initialize the SIFT feature extractor
        self.extractor = cv2.DescriptorExtractor_create("SIFT")

    def compute(self, image, kps, eps=1e-7):
        # compute SIFT descriptors
        (kps, descs) = self.extractor.compute(image, kps)

        # if there are no keypoints or descriptors, return an empty tuple
        if len(kps) == 0:
            return ([], None)

        # apply the Hellinger kernel by first L1-normalizing and taking the
        # square-root
        descs /= (descs.sum(axis=1, keepdims=True) + eps)
        descs = np.sqrt(descs)
        #descs /= (np.linalg.norm(descs, axis=1, ord=2) + eps)

        # return a tuple of the keypoints and descriptors
        return (kps, descs)

来自 https://www.pyimagesearch.com/2015/04/13/implementing-rootsift-in-python-and-opencv/

C++ 实现

for(int i = 0; i < siftFeature.rows; i ++){
        // Conver to float type
        Mat f;
        siftFeature.row(i).convertTo(f,CV_32FC1);

        normalize(f,f,1,0,NORM_L1); // l1 normalize
        sqrt(f,f); // sqrt-root  root-sift
        rootSiftFeature.push_back(f);
    }

VLAD

局部聚合向量（Vector of Locally Aggregated Descriptors，VLAD）

前面介绍的BoW方法，在图像的检索和检索中有这广泛的应用。BoW通过聚类，对图像的局部特征进行重新编码，有很强的表示能力，并且使用SVM这样基于样本间隔的分类器，也能取得了很好的分类效果。但是在图像规模比较大的情况下，由于视觉词汇表Vocabulary大小的限制，BoW对图像的表示会越来越粗糙，编码后损失的图像信息较多，检索精度也随之而降低。

2010年，论文Aggregating local descriptors into a compact image representation中提出了一对新的图像表示方法，VLAD。从三个方面进行改进：

BoW的表示方法中，是统计每个特征词汇在图像中出现的频率。VLAD则是求落在同一个聚类中心的特征和该聚类中心残差的累加和。公式表示如下：

由于，VLAD是特征和其最邻近的聚类中心的残差和，该向量的很多分量很多分量都为０，也就是说该向量是稀疏的（sparse,很少的分量占有大部分的能量），所以可以对VLAD进行降维处理（例如，PCA）能进一步缩小向量的大小。

void Vocabulary::transform_vlad(const cv::Mat &f,cv::Mat &vlad)
{
    // Find the nearest center
    Ptr<FlannBasedMatcher> matcher = FlannBasedMatcher::create();
    vector<DMatch> matches;
    matcher->match(f,m_voc,matches);


    // Compute vlad
    Mat responseHist(m_voc.rows,f.cols,CV_32FC1,Scalar::all(0));
    for( size_t i = 0; i < matches.size(); i++ ){
        auto queryIdx = matches[i].queryIdx;
        int trainIdx = matches[i].trainIdx; // cluster index
        Mat residual;
        subtract(f.row(queryIdx),m_voc.row(trainIdx),residual,noArray());
        add(responseHist.row(trainIdx),residual,responseHist.row(trainIdx),noArray(),responseHist.type());
    }

    // l2-norm
    auto l2 = norm(responseHist,NORM_L2);
    responseHist /= l2;
    //normalize(responseHist,responseHist,1,0,NORM_L2);

    //Mat vec(1,m_voc.rows * f.cols,CV_32FC1,Scalar::all(0));
    vlad = responseHist.reshape(0,1); // Reshape the matrix to 1 x (k*d) vector
}

借助于OpenCV实现还是比较简单的。这里使用FlannBasedMatcher的match方法来查找特征最邻近的聚类中心（视觉词汇）。可以分为以下三步：

Summary

Bow通常要搭配TF-IDF进行使用，但是由于Vocabulary的大小的限制，VLAD是一个不错的替代选择。RootSift是对原生sift的扩展。

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