Python实现两种稀疏矩阵的最小二乘法

最小二乘法

scipy.sparse.linalg实现了两种稀疏矩阵最小二乘法lsqr和lsmr，前者是经典算法，后者来自斯坦福优化实验室，据称可以比lsqr更快收敛。

这两个函数可以求解Ax=b，或arg min_x ∥Ax−b∥²，或arg min_x ∥Ax−b∥² +d²∥x−x0∥²，其中A必须是方阵或三角阵，可以有任意秩。

通过设置容忍度a_t ,b_t,可以控制算法精度，记r=b-A_x 为残差向量，如果A_x=b是相容的，lsqr在∥r∥⩽a_t∗∥A∥⋅∥x∥+b_t∥b∥时终止；否则将在∥A^T_r∥⩽a_t∥A∥⋅∥r∥。

如果两个容忍度都是10⁻⁶ ，最终的∥r∥将有6位精度。

lsmr的参数如下

lsmr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, maxiter=None, show=False, x0=None)

参数解释：

• A 可谓稀疏矩阵、数组以及线性算子
• b 为数组
• damp 阻尼系数，默认为0
• atol, btol 截止容忍度，是lsqr迭代的停止条件，即a_t ,b_t 。
• conlim 另一个截止条件，对于最小二乘问题，conlim应该小于10⁸，如果A_x=b是相容的，则conlim最大可以设到10¹²
• iter_limint 迭代次数
• show 如果为True，则打印运算过程
• calc_var 是否估计(A.T@A + damp**2*I)^{-1}的对角线
• x0 阻尼系数相关

lsqr和lsmr相比，没有maxiter参数，但多了iter_lim, calc_va参数。

上述参数中，damp为阻尼系数，当其不为0时，记作δ，待解决的最小二乘问题变为

返回值

lsmr的返回值依次为：

• x 即A_x=b中的x
• istop 程序结束运行的原因
• itn 迭代次数
• normr ∥b−A_x∥
• normar ∥A^T (b−Ax)∥
• norma ∥A∥
• conda A的条件数
• normx ∥x∥

lsqr的返回值为

1. x 即A_x=b中的x
2. istop 程序结束运行的原因
3. itn 迭代次数
4. r1norm
5. anorm 估计的Frobenius范数Aˉ
6. acond Aˉ的条件数
7. arnorm ∥A^T_r−δ²(x−x₀)∥
8. xnorm ∥x∥
9. var (A^TA)⁻¹

二者的返回值较多，而且除了前四个之外，剩下的意义不同，调用时且须注意。

测试

下面对这两种算法进行验证，第一步就得先有一个稀疏矩阵

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_array

np.random.seed(42)  # 设置随机数状态
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)

然后用这个稀疏矩阵乘以一个x，得到b

xs = np.arange(500)
b = mat @ xs

接下来对这两个最小二乘函数进行测试

from scipy.sparse.linalg import lsmr, lsqr
import matplotlib.pyplot as plt
mx = lsmr(csr, b)[0]
qx = lsqr(csr, b)[0]
plt.plot(xs, lw=0.5)
plt.plot(mx, lw=0, marker='*', label="lsmr")
plt.plot(qx, lw=0, marker='.', label="lsqr")
plt.legend()
plt.show()

为了对比清晰，对图像进行放大，可以说二者不分胜负

接下来比较二者的效率，500 × 500 500\times500500×500这个尺寸显然已经不合适了，用2000×2000

from timeit import timeit

np.random.seed(42)  # 设置随机数状态
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)
timeit(lambda : lsmr(csr, b), number=10)
timeit(lambda : lsqr(csr, b), number=10)

测试结果如下

>>> timeit(lambda : lsqr(csr, b), number=10)
0.5240591000001587
>>> timeit(lambda : lsmr(csr, b), number=10)
0.6156221000019286

看来lsmr并没有更快，看来斯坦福也不靠谱(滑稽)。