C语言递归：汉诺塔问题分析
持续进化中 人气:0问题背景
汉诺塔问题源自印度一个古老的传说，印度教的“创造之神”梵天创造世界时做了 3 根金刚石柱，其中的一根柱子上按照从小到大的顺序摞着 64 个黄金圆盘。梵天命令一个叫婆罗门的门徒将所有的圆盘移动到另一个柱子上，移动过程中必须遵守以下规则：
每次只能移动柱子最顶端的一个圆盘；每个柱子上，小圆盘永远要位于大圆盘之上；
游戏体验
点击开始体验游戏：汉诺塔游戏 (gitee.io)
汉诺塔移动次数规律
个数 | 移动次数f(n) | 规律 |
1 | 1 | 2^1-1 |
2 | 3 | 2^2-1 |
3 | 7 | 2^3-164-1 |
4 | 15 | 2 |
... | ... | ... |
n | 2^n-1 | 2^n-1 |
由上述分析可以得到f(n)与f(n-1)的关系:
所以：f(n)=2^n-1 ; f(n-1)=2^(n-1)-1
f(n)=2^n-1=2^1*(2^(n-1)-1)+1=2*f(n-1)+1
移动过程的深层解读
汉诺塔问题的三步过程归纳
（我们是把n-1个圆盘看成一个整体去分析的）
一.把n-1个圆盘从A（经过C）移到B
二. 把A上第n个圆盘移到C
三: 把B上的（n-1）个圆盘（经过A）移到C
重点！！！！
中间的一步是把最大的一个盘子由A移到C上去；A->C
（1）中间一步之前可以看成把A上n-1个盘子通过借助C塔移到了B上，A->B
（2）中间一步之后可以看成把B上n-1个盘子通过借助A塔移到了C上；B->C
图解：
阶数 | 步骤 |
1 | A->C |
2 | A->B，A->C，B->C |
3 | A->C，A->B，C->B，A->C，B->A，B->C，A->C |
4 | A->B，A->C，B->C，A->B，C->A，C->B，A->B，A->C，B->C，B->A，C->A，B->C，A->B，A->C，B->C |
... | ... |
奇数 | 第一步A->C |
偶数 | 第一步A->B |
发现：
奇数个圆盘第一步永远为A–>C
偶数个圆盘第一步永远为A–>B
代码实现1
仅打印移动次数
#include<stdio.h>
int Tower(int num)
{
if(num==1)
return 1;
else
return 2*Tower(num-1)+1;
}
int main()
{
int num=0;
int ret=0;
printf("请输入层数：");
scanf("%d",&num);
ret=Tower(num);
printf("需要%d次完成\n",ret);
return 0;
}关键步骤
if(num==1) return 1; else return 2*Tower(num-1)+1;
代码实现2
打印移动的具体过程
#include <stdio.h>
void Move(char A,char C)
{
printf("%c --> %c\n",A,C);
}
void tower(int a,char A,char B,char C)//汉诺塔函数实施主体,A为初始柱,B为经由柱,C为目的柱
{
if (a==1)
{
Move(A,C);
}
else
{
tower(a-1,A,C,B);//把n-1个圆盘从A（经过C）移到B
Move(A,C);
tower(a-1,B,A,C);//把B杆上的（n-1）个圆盘（经过A）移到C
}
}
int Tower(int num)
{
if (num==1)
return 1;
else
return 2*Tower(num-1)+1;
}
int main()
{
int a = 0;
int Num=0;
printf("请输入层数:");
scanf("%d",&a);
Num = Tower(a);
printf("%d层需要移动%d步\n", a, Num);
tower(a, 'A', 'B', 'C');//进入递归
return 0;
}
补充
进阶题：移动盘子的过程中只能够相邻柱间移动，结论：移动次数：f(n)=3^n-1
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