Python排序算法之堆排序算法
一枚大果壳 人气:0本文从树数据结构
说到二叉堆数据结构
,再使用二叉堆
的有序性对无序数列排序。
1. 树
树
是最基本的数据结构,可以用树
映射现实世界中一对多的群体关系。如公司的组织结构、网页中标签之间的关系、操作系统中文件与目录结构……都可以用树结构描述。
树是由结点
以及结点之间的关系
所构成的集合。关于树结构的更多概念不是本文的主要内容,本文只关心树数据结构中的几个特殊变种:
二叉树
如果树中的任意结点(除叶子结点外)最多只有两个子结点,这样的树称为二叉树
。
满二叉树
如果 二叉树
中任意结点(除叶子结点外)都有 2
个子结点,则称为满二叉树
。
满二叉树的特性:
根据满二叉树
的定义可知,满二叉树
从上向下,每一层上的结点数以 2
倍的增量递增。也可以说,满二叉树是一个首项为 1
,公比为 2
的等比数列。所以:
一个层数为 k
的满二叉树总结点数为:2<sup>k</sup>-1 。
满二叉树的总结点数一定是奇数!
根据等比公式可知第 i
层上的结点数为:2<sup>i-1
</sup>,因此,一个层数为 k
的满二叉树的叶子结点个数为: 2<sup>k-1
</sup>。
什么是完全二叉树?
完全二叉树
是满二叉树
的一个特例。
通俗理解: 在满二叉树
基础上,从右向左删除几个叶子节点后,此时满二叉树就变成了完全二叉树。如下图,在上图满二叉树基础上从右向左删除 2
个叶结点后的结构就是完全二叉树。
完全二叉树的专业概念:
一棵深度为 k
的有 n
个结点的二叉树,对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号,如果编号为 i(1<=i<=n)
的结点与满二叉树中编号为 i
的结点在二叉树中的位置相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。
专业概念有点像绕口令。
显然,完全二叉树的叶子结点只能出现在最下层或次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。
注意:满二叉树肯定是完全二叉树,而完全二叉树不一定是满二叉树。
2. 二叉堆
二叉堆
是有序的 完全二叉树
,在完全二叉树
的基础上,二叉堆
提供了有序性特征:
二叉堆
的根结点上的值是整个堆中的最小值
或最大值
。
当根结点上的值是整个堆结构中的最小值时,此堆称为最小堆。
如果根结点上的值是整个堆结构中的最大值时,则称堆为最大堆。
最小堆中,任意节点的值大于父结点的值,反之,最大堆中,任意节点的值小于父结点的值。
综合所述,二叉堆的父结点与子结点之间满足下面的关系:
如果知道了一个结点的位置 i
,则其左子结点在 2*i
处,右子结点在 2*i+1
处。
前提是结点要有子结点。
如果知道了一个结点的位置 i
,则其父结点在 i
除 2
处。
根结点没有父结点。
如上图所示:
值为 5
的结点在 2
处,则其左结点 12
的位置应该在 2*2=4
处,而实际情况也是在 4 位置。其右子结点 13
的位置应该在 2*2+1=5
的位置,实际位置也是在 5
位置。
值为 19
的结点现在 7
位置,其父结点的根据公式 7
除 2
等于 3
(取整),应该在 3
处,而实际情况也是在 3
处(位置在 3
、 值为 8
的结点是其父结点)。
2.1 二叉堆的抽象数据结构
当谈论某种数据结构的抽象数据结构时,最基本的 API
无非就是增、删、改、查。
二叉堆的基本抽象数据结构:
Heap()
:创建一个新堆。 insert(data)
: 向堆中添加新节点(数据)。 get_root()
: 返回最小(大)堆的最小(大)元素。 remove_root()
:删除根节点。 is_empty()
:判断堆是否为空。 find_all()
:查询堆中所有数据。
二叉堆
虽然是树结构的变种,有树的层次结构,但因结点与结点之间有很良好的数学关系,使用 Python
中的列表存储是非常不错的选择。
现如有一个数列=[8,5,12,15,19,13,1]
,现使用二叉堆方式保存。先构造一个列表。
列表中的第 0
位置初始为 0
,从第 2
个位置也就是索引号为 1
的地方开始存储堆的数据。如下图,二叉堆中的数据在列表中的存储位置。
2.2 API 实现
设计一个 Heap
类封装对二叉堆的操作方法,类中方法用来实现最小堆。
''' 模拟最小堆 ''' class Heap(): # 初始化方法 def __init__(self): # 数列,第一个位置空着 self.heap_list = [0] # 大小 self.size = 0 # 返回根结点的值 def get_root(self): pass ''' 删除根结点 ''' def remove_root(self): pass # 为根结点赋值 def set_root(self, data): pass # 添加新结点 def insert(self, data): pass # 是否为空 def is_empty(self): pass
Heap
类中的属性详解:
heap_list
:使用列表存储二叉堆
的数据,初始时,列表的第 0
位置初始为默认值 0
。
为什么要设置列表的第 0
位置的默认值为 0
?
这个 0
也不是随意指定的,有其特殊数据含义:用来描述根结点的父结点或者说根结点没有父结点。
size
:用来存储二叉堆中数据的实际个数。
Heap
类中的方法介绍:
is_empty
:检查是不是空堆。
# 长度为 0 ,则为空堆 def is_empty(self): return self.size==0
set_root
:创建根结点。保证根节点始终存储在列表索引为 1
的位置。
# 为根结点赋值 def set_root(self, data): self.heap_list.insert(1, data) self.size += 1
get_root
:如果是最大堆,则返回二叉堆的最大值,如果是最小堆,则返回二叉堆的最小值。
# 返回根结点的值 def get_root(self): # 检查列表是否为空 if not self.is_empty(): return self.heap_list[1] raise Exception("空二叉堆!")
使用列表保存二叉堆数据时,根结点始终保存在索引号为 1
的位置。
前面是几个基本方法,现在实现添加新结点,编码之前,先要知道如何在二叉堆中添加新结点:
添加新结点采用上沉算法。如下演示流程描述了上沉的实现过程。
把新结点
添加到已有的二叉堆
的最后面。如下图,添加值为 4
的新结点,存储至索引号为 7
的位置。
查找新结点
的父结点
,并与父结点
的值比较大小,如果比父结点的值小,则和父结点
交换位置。如下图,值为 4
的结点小于值为 8
的父结点,两者交换位置。
交换后再查询是否存在父结点,如果有,同样比较大小、交换,直到到达根结点或比父结点大为止。值为 4
的结点小于值为 5
的父结点,继续交换。交换后,新结点已经达到了根结点位置,整个添加过程可结束。观察后会发现,遵循此流程添加后,没有破坏二叉堆的有序性。
insert
方法的实现:
# 添加新节点 def insert(self, data): # 添加新节点至列表最后 self.heap_list.append(data) self.size += 1 # 新节点当前位置 n_idx = len(self.heap_list) - 1 while True: if n_idx // 2 == 0: # 当前节点是根节点,根结点没有父结点,或说父结点为 0,这也是为什么初始化列表时设置 0 为默认值的原因 break # 和父节点比较大小 if self.heap_list[n_idx] < self.heap_list[n_idx // 2]: # 和父节点交换位置 self.heap_list[n_idx], self.heap_list[n_idx // 2] = self.heap_list[n_idx // 2], self.heap_list[n_idx] else: # 出口之二 break # 修改新节点的当前位置 n_idx = n_idx // 2
测试向二叉堆中添加数据。
创建一个空堆。
heap = Heap()
创建值为 5
的根结点。
heap.set_root(5)
检查根结点是否创建成功。
val = heap.get_root() print(val) ''' 输出结果 5 '''
添加值为 12
和值为13
的 2
个新结点,检查添加新结点后整个二叉堆的有序性是否正确。
# 添加新结点 heap.insert(12) heap.insert(13) # 输入数列 print(heap.heap_list) ''' 输出结果 [0, 5, 12,13] '''
添加值为 1
的新结点,并检查二叉堆的有序性。
# 添加新结点 heap.insert(1) print(heap.heap_list) ''' 输出结果 [0, 1, 5, 13, 12] '''
继续添加值为 15
、19
、8
的 3
个新结点,并检查二叉堆的状况。
heap.insert(15) heap.insert(19) heap.insert(8) print(heap.heap_list) ''' 输出结果 [0, 1, 5, 8, 12, 15, 19, 13] '''
介绍完添加方法后,再来了解一下,如何删除二叉堆中的结点。
二叉堆
的删除操作从根结点开始,如下图删除根结点后,空出来的根结点位置,需要在整个二叉堆中重新找一个结点充当新的根结点。
二叉堆中使用下沉算法选择新的根结点:
找到二叉堆中的最后一个结点,移到到根结点位置。如下图,把二叉堆中最后那个值为 19
的结点移到根结点位置。
最小堆中,如果新的根结点
的值比左或右子结点的值大,则和子结点交换位置。如下图,在二叉堆中把 19
和 5
的位置进行交换。
注意:总是和最小的子结点交换。
交换后,如果还是不满足最小二叉堆父结点小于子结点的规则,则继续比较、交换新根结点
直到下沉到二叉堆有序为止。如下,继续交换 12
和 19
的值。如此反复经过多次交换直到整个堆结构符合二叉堆的特性。
remove_root
方法的具体实现:
''' 删除根节点 ''' def remove_root(self): r_val = self.get_root() self.size -= 1 if self.size == 1: # 如果只有根节点,直接删除 return self.heap_list.pop() i = 1 # 二叉堆的最后结点成为新的根结点 self.heap_list[i] = self.heap_list.pop() # 查找是否存在比自己小的子结点 while True: # 子结点的位置 min_pos = self.min_child(i) if min_pos is None: # 出口:没有子结点或没有比自己小的结点 break # 交换 self.heap_list[i], self.heap_list[min_pos] = self.heap_list[min_pos], self.heap_list[i] i = min_pos return r_val ''' 查找是否存在比自己小的子节点 ''' def min_child(self, i): # 是否有子节点 child_pos = self.is_exist_child(i) if child_pos is None: # 没有子结点 return None if len(child_pos) == 1 and self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[0]]: # 有 1 个子节点,且大于此子结点 return child_pos[0] elif len(child_pos) == 2: # 有 2 个子节点,找到 2 个结点中小的那个结点 if self.heap_list[child_pos[0]] < self.heap_list[child_pos[1]]: if self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[0]]: return child_pos[0] else: if self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[1]]: return child_pos[1] ''' 检查是否存在子节点 返回具体位置 ''' def is_exist_child(self, p_idx): # 左子节点位置 l_idx = p_idx * 2 # 右子节点位置 r_idx = p_idx * 2 + 1 if l_idx <= self.size and r_idx <= self.size: # 存在左、右子节点 return l_idx, r_idx elif l_idx <= self.size: # 存在左子节点 return l_idx, elif r_idx <= self.size: # 存在右子节点 return r_idx,
remove_root
方法依赖 min_child
和is_exist_child
方法:
min_child
方法用查找比父结点小的结点。
is_exist_child
方法用来查找是否存在子结点。
测试在二叉堆中删除结点:
heap = Heap() heap.set_root(5) val = heap.get_root() print(val) # 添加新结点 heap.insert(12) heap.insert(13) # 添加新结点 heap.insert(1) heap.insert(15) heap.insert(19) heap.insert(8) # 添加结点后二叉堆现状 print("添加结点后二叉堆现状:", heap.heap_list) val = heap.remove_root() print("删除根结点后二叉堆现状:", heap.heap_list) ''' 输出结果 添加节点后二叉堆现状: [0, 1, 5, 8, 12, 15, 19, 13] 删除根节点后二叉堆现状: [0, 5, 12, 8, 13, 15, 19] '''
可以看到最后二叉堆的结构和有序性都得到了完整的保持。
3. 堆排序
堆排序指借助堆的有序性对数据进行排序。
需要排序的数据以堆的方式保存 然后再从堆中以根结点方式取出来,无序数据就会变成有序数据 。
如有数列=[4,1,8,12,5,10,7,21,3],现通过堆的数据结构进行排序。
heap = Heap() nums = [4,1,8,12,5,10,7,21,3] # 创建根节点 heap.set_root(nums[0]) # 其它数据添加到二叉堆中 for i in range(1, len(nums)): heap.insert(nums[i]) print("堆中数据:", heap.heap_list) # 获取堆中的数据 nums.clear() while heap.size > 0: nums.append(heap.remove_root()) print("排序后数据:", nums) ''' 输出结果 堆中数据: [0, 1, 3, 7, 4, 5, 10, 8, 21, 12] 排序后数据: [1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 21] '''
本例中的代码还有优化空间,本文试图讲清楚堆的使用,优化的地方交给有兴趣者。
4. 后记
在树结构上加上一些新特性要求,树会产生很多新的变种,如二叉树,限制子结点的个数,如满二叉树,限制叶结点的个数,如完全二叉树就是在满二叉树的“满”字上做点文章,让这个''满"变成"不那么满"。
在完全二叉树上添加有序性,则会衍生出二叉堆数据结构。利用二叉堆的有序性,能轻松完成对数据的排序。
二叉堆中有 2 个核心方法,插入和删除,这两个方法也可以使用递归方式编写。
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