Java快速幂算法

时间:2022-10-15 码农研究僧人气:0

前言

此算法偶尔会出现在笔试以及面试中，特意花时间研究了下这题

题目：

求A^B次方，并且保留最后几位数字（此题保留最后3位数）

例子：

2¹⁰⁰⁰,输出的结果保留3位数字

在笔试或者面试中看到此题，第一思路可能通过递归或者while遍历的想法，但细想一下，这么大的数字编程语言中任何一个变量或者计算机硬件机器也hold不住这么大的数字存储（越往后幂次越大，总是会溢出）

此时想到了海量数据如何存储：海量数据处理的高频面试题分析

那我就选择布隆过滤器：布隆过滤器的原理和实现详细分析（全）。（但可能会有误差）

硬件无法存储，那我就分片切片，甚至二进制移位来对应计算（但是我是21000次方，每一次的幂算，我都整这么复杂，这计算一个数字要花大半天？？）

冷静思考后，我发现想复杂了，应该从数学推导公式下手，才能提高算法的优化

以下章节对应算法复杂度的优化

1. 暴力算法（fail）

算法如下：

/* 
* base 为底数
* power 为指数
*/
public long slowPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    // 依次通过for循环，将其对应的数字乘
    for(int i = 1 ;i <= power;i++){
        result *= base;
    }
    
    // 保留最后的3位数字，求余1000
    return result % 1000;
}

或者使用while循环

public long slowPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    while(power--){
        result *= base;
    }
    return result % 1000;
}

此处的代码执行的时候，就会出现数组越界

幂次运算，越到最后，爆炸式的增长：

对此求余是最好的想法（因为数值很大保留最后几位即可）

但数值本身就已经越界，而且爆炸增长也算不到最后的数值，更不用提及求余

2. 优化取模运算（accept）

从上面的理论可得知，在求到某一步的时候，数值已经越界，那可以提前求余在计算么

那就要从取模运算进行深入了解：取模运算百度百科

本身模运算与基本四则运算相似

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p

其他的重要的也可提前过一遍（哪天用得上）

结合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p

分配律：

(a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p

特别是这个公式：(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

算法如下：

/* 
* base 为底数
* power 为指数
*/
public long fastPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    // 依次通过for循环，将其对应的数字乘
    for(int i = 1 ;i <= power;i++){
        result *= base;
        result %= 1000;
    }
    
    // 保留最后的3位数字，求余1000
    return result % 1000;
}

3. 优化时间复杂度（accept）

上面的计算是2¹⁰⁰⁰，如果是2^{10000000000000000000000000000}那时间复杂度随着指数的增加而增加，而且迭代的次数也特别多，那优化时间复杂度么？

通过幂次的巧妙处理，将其幂次计算的迭代减少

具体如下:（计算2¹⁰）

pow(2,10)
= pow(4,5)
= pow(4,4) * pow(4,1)
= pow(16,2) * pow(4,1)
= pow(256,1) * pow(4,1)

幂次为偶数，直接处理
幂次为奇数，拆1 以及偶数

知道所有的指数都变为1，将其相乘即为最终的结果

最终的算法：

/* 
* base 为底数
* power 为指数
*/
public long fasterPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    // 保证指数大于0 遍历
    while (power > 0) {
    
        // 偶数
        if (power % 2 == 0) {
            // 指数减半
            power /= 2;
            // 底数平方，记得 （模的运算优化）
            base = base * base % 1000;
            
        } else {
            // 指数为奇数
            // 拆分为1 和 偶数
            power -= 1;
            
            // result乘底数 求余 并且放在result（提前存储）
            result = result * base % 1000;
            
            // power偶数，再操作一次
            // 底数平方，记得 （模的运算优化）
            power /= 2;
            base = base * base % 1000;
        }
    }
    
    // 直接输出结果，已经不用求余了
    return result;
}

通过上面的算法发现冗余复杂了，提取公共部分合并

/* 
* base 为底数
* power 为指数
*/
public long fasterPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    // 保证指数大于0 遍历
    while (power != 0) {
    
        // 奇数特殊判断
        if (power % 2) {
            result = result * base % 1000;
        } 
       
        // 再次操作一次，底数平方，记得 （模的运算优化）
        // 此处之所以不用减1，是因为 power 会向下取整 ，5 / 2 = 2 
        power /= 2;
        base = base * base % 1000;
     
    }
    
    // 直接输出结果，已经不用求余了
    return result;
}

4. 优化位运算（accept）

除2（右移），可以使用移位来计算

// 非递归
public long fastestPower(long base,long power){
    long result = 1;
    
    while (power != 0) {
    
        // 奇数特殊判断
        if (power & 1) {
            result = result * base % 1000;
        } 
       
        power >>= 1;
        base = base * base % 1000;
     
    }
    
    // 直接输出结果，已经不用求余了
    return result;
}

通过上面的层层递进进行优化，自然也可用递归

// 递归
public long fastestPower(long base,long power){
    if(power == 0) {
        return 1;
    }
    
    return fastestPower(base * base, power >> 1) * (power & 1 == 1 ? base : 1);
}

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Java快速幂算法

前言

1. 暴力算法（fail）

2. 优化取模运算（accept）

3. 优化时间复杂度（accept）

4. 优化 位运算（accept）

4. 优化位运算（accept）