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C# 分治算法

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分治策略是:

对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

可使用分治法求解的一些经典问题

(1)二分搜索

(2)大整数乘法

(3)Strassen矩阵乘法

(4)棋盘覆盖

(5)合并排序

(6)快速排序

(7)线性时间选择

(8)最接近点对问题

(9)循环赛日程表

(10)汉诺塔

分治算法 - 最大子数组问题

股票问题: 

 (1)暴力求解

嵌套循环,遍历所有的子数组,找到最大的子数组,从13开始遍历,一直遍历到7,找到最大的子数组,再从-3开始遍历,找到最大子数组,最简单粗暴,耗费性能最高,最消耗时间。

/****************************************************
 *  功能:使用暴力求解股票价格购买问题
*****************************************************/
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class Test : MonoBehaviour
{
    
    void Start()
    {
        Suanfa();
    }
    void Suanfa()
    {
        int[] priceArray = {100, 113, 110, 85, 105, 102, 86, 63, 81, 101, 94, 106, 101, 79, 94, 90, 97};//价格数组
        int[] priceFluctuationArray = new int[priceArray.Length - 1];//价格波动的数组
        for (int i = 1; i < priceArray.Length; i++)//给价格波动表赋值
        {
            priceFluctuationArray[i-1] = priceArray[i] - priceArray[i - 1];//当天价格-上一天价格
        }
        int total = priceFluctuationArray[0];//默认第一个元素是最大子数组的和
        int startIndex = 0;
        int endIndex = 0;
        for (int i = 0; i < priceFluctuationArray.Length; i++)
        {
            //取得以i为子数组起点的所有子数组
            for (int j = i; j < priceFluctuationArray.Length; j++)//以i开始以i结束
            {
                //由i,j就确定了一个子数组
                int totalTemp = 0;//临时最大子数组的和
                for (int k = i; k < j+1; k++)
                {
                    totalTemp += priceFluctuationArray[k];//当前子数组的和
                }
                if (totalTemp>total)//判断当前子数组的和是否大于总和
                {
                    total = totalTemp;//最大子数组的和
                    startIndex = i;//最大子数组的开始索引
                    endIndex = j;//最大子数组的结束索引
                }
            }
        }
        Debug.Log("startIndex:"+startIndex);
        Debug.Log("endIndex:"+endIndex);
        Debug.Log("购买日期是第"+startIndex+"天 出售日期是第"+(endIndex+1)+"天");
    }
}

(2)分治法

​求low和high数组的最大子数组(区间)(和最大):

由low和high取得中间的mid索引,由最初的[low,high]区间得到[low,mid][mid+1,high]两个区间,

i为子数组的开始索引,j为子数组的结束索引:

因为ij是由mid分隔的,分别取得在low mid里面的i值,mid high里面的j值

/****************************************************
 *  功能:使用分治法求解股票价格购买问题
*****************************************************/
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class Test : MonoBehaviour
{
    struct SubArray//最大子数组的结构体
    {
        public int startIndex;
        public int endIndex;
        public int total;
    }
    void Start()
    {
        Suanfa();
    }
    void Suanfa()
    {
        int[] priceArray = {100, 113, 110, 85, 105, 102, 86, 63, 81, 101, 94, 106, 101, 79, 94, 90, 97};//价格数组
        int[] priceFluctuationArray = new int[priceArray.Length - 1];//价格波动的数组
        for (int i = 1; i < priceArray.Length; i++)//给价格波动表赋值
        {
            priceFluctuationArray[i-1] = priceArray[i] - priceArray[i - 1];//当天价格-上一天价格
        }
        SubArray subArray = GetMaxSubArray(0, priceFluctuationArray.Length - 1, priceFluctuationArray);
        Debug.Log("startIndex:"+subArray.startIndex);
        Debug.Log("endIndex:"+subArray.endIndex);
        Debug.Log("购买日期是第"+ subArray.startIndex+"天 出售日期是第" +(subArray.endIndex + 1)+"天");
    }
    static SubArray GetMaxSubArray(int low, int high, int[] array)//用来取得array这个数组从low到high之间的最大子数组
    {
        if (low==high)//递归结束的终止条件
        {
            SubArray subArray;
            subArray.startIndex = low;
            subArray.endIndex = high;
            subArray.total = array[low];
            return subArray;
        }
        int mid = (low + high) / 2;//低区间[low,mid]高区间[mid+1,high]
        SubArray subArray1=GetMaxSubArray(low, mid, array);//低区间最大子数组
        SubArray subArray2=GetMaxSubArray(mid + 1, high, array);//高区间最大子数组
        //从[low,mid]找到最大子数组[i,mid]
        int total1 = array[mid];//最大子数组的和
        int startIndex = mid;//最大子数组的开始索引
        int totalTemp = 0;//临时的和
        for (int i = mid; i >=low; i--)//从mid向low遍历
        {
            totalTemp += array[i];
            if (totalTemp>total1)
            {
                total1 = totalTemp;
                startIndex = i;
            }
        }
        //从[mid+1,high]找到最大子数组[mid+1,j]
        int total2 = array[mid+1];//最大子数组的和
        int endIndex = mid+1;//最大子数组的结束索引
        totalTemp = 0;
        for (int j = mid+1; j <= high; j++)//从mid+1向high遍历
        {
            totalTemp += array[j];
            if (totalTemp>total2)
            {
                total2 = totalTemp;
                endIndex = j;
            }
        }
        SubArray subArray3;
        subArray3.startIndex = startIndex;
        subArray3.endIndex = endIndex;
        subArray3.total = total1 + total2;
        if (subArray1.total>=subArray2.total&&subArray1.total>=subArray3.total)
        {
            return subArray1;
        }
        else if (subArray2.total >= subArray1.total && subArray2.total >= subArray3.total)
        {
            return subArray2;
        }
        else
        {
            return subArray3;
        }
    }
}

分治法实现大数相乘 C#实现

用C#实现,尽可能的利用C#的特性。本例中,只要拆分的数字小于9位数,就可以直接相乘计算,保证不会溢出。

在编程中,还需要用的加法和减法,也要通过字符串模拟实现。

最终的乘法运算,依赖递归思想得以实现。

本文的代码还有一些可以优化的地方,比如对于不使用字符串而是全部使用数组,可能会更快点。

代码如下:

namespace bigIntMultiply
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
           string a = "99999999999999";
           string b = "123456789001234567890";
            Stopwatch sw = new Stopwatch();
            sw.Start();
            string s = Multiply(b, b);
            sw.Stop();
            Console.WriteLine(s);
            Console.WriteLine(sw.Elapsed);
        }
        //字符串模拟乘法操作
        static string Multiply(string x, string y)
        {
            //deep++;// Console.WriteLine("-" + deep + "-");
            string negative = "";
            if ((x.StartsWith("-") && y.StartsWith("-")) || (!x.StartsWith("-") && !y.StartsWith("-")))
            {
                x = x.TrimStart('-'); y = y.TrimStart('-');
                negative = "";
            }
            else if ((x.StartsWith("-") && !y.StartsWith("-")) || (!x.StartsWith("-") && y.StartsWith("-")))
            {
                x = x.TrimStart('-'); y = y.TrimStart('-');
                negative = "-";
            }
            //如果长度都小于9,直接相乘,返回就行了。
            if (x.Length <= 9 && y.Length <= 9)
            {
                long tmp = (long.Parse(x) * long.Parse(y));
                if (tmp == 0)
                    return tmp.ToString();
                return negative + (long.Parse(x) * long.Parse(y)).ToString();
            }
            //公式里的abcd
            string a, b, c, d;
            if (x.Length <= 9)
            {
                a = "0"; b = x;
            }
            else
            {
                if (x.Length % 2 != 0)
                    x = "0" + x;
                a = x.Substring(0, x.Length / 2);
                b = x.Substring(x.Length / 2);
            }
            if (y.Length <= 9)
            {
                c = "0";
                d = y;
            }
            else
            {
                if (y.Length % 2 != 0)
                    y = "0" + y;
                c = y.Substring(0, y.Length / 2);
                d = y.Substring(y.Length / 2);
            }
            int n = x.Length >= y.Length ? x.Length : y.Length;
            string t1, t2, t3;
            //递归调用,根据公式计算出值。
            string ac = Multiply(a, c);
            string bd = Multiply(b, d);
            t1 = Multiply(Subtract(a, b), Subtract(d, c));
            t2 = Add(Add(t1, ac), bd);
            t3 = Add(Add(Power10(ac, n), Power10(t2, n / 2)), bd).TrimStart('0');
            if (t3 == "") return "0";
            return negative + t3;
        }
        //字符串模拟加法操作
        static string Add(string x, string y)
        {
            if (x.StartsWith("-") && !y.StartsWith("-"))
            {
                return Subtract(y, x.TrimStart('-'));
            }
            else if (!x.StartsWith("-") && y.StartsWith("-"))
            {
                return Subtract(x, y.TrimStart('-'));
            }
            else if (x.StartsWith("-") && y.StartsWith("-"))
            {
                return "-" + Add(x.TrimStart('-'), y.TrimStart('-'));
            }
            if (x.Length > y.Length)
            {
                y = y.PadLeft(x.Length, '0');
            }
            else
            {
                x = x.PadLeft(y.Length, '0');
            }
            int[] sum = new int[x.Length + 1];
            for (int i = x.Length - 1; i >= 0; i--)
            {
                int tmpsum = int.Parse(x[i].ToString()) + int.Parse(y[i].ToString()) + sum[i + 1];
                if (tmpsum >= 10)
                {
                    sum[i + 1] = tmpsum - 10;
                    sum[i] = 1;//表示进位
                }
                else
                {
                    sum[i + 1] = tmpsum;
                }
            }
            string returnvalue = string.Concat(sum);
            if (sum[0] == 1)
            {
                return returnvalue;
            }
            else
            {
                return returnvalue.Remove(0, 1);
            }
        }
        //字符串模拟减法操作
        static string Subtract(string x, string y)
        {
            //if (x.StartsWith("-") && !y.StartsWith("-"))
            //{
            //    return "-" + Add(x.TrimStart('-'), y);
            //}
            //if (y.StartsWith("-"))
            //{
            //    return Add(x, y.TrimStart('-'));
            //}
            //x是正数,y也是正数
            int flag = checkBigger(x, y);
            if (flag == 0)
            {
                return "0";
            }
            else if (flag == -1)
            {
                string tmp = y;
                y = x;
                x = tmp;
            }
            //保证了x>=y
            y = y.PadLeft(x.Length, '0');//y补0与x对齐
            int[] difference = new int[x.Length];
            for (int i = x.Length - 1; i >= 0; i--)
            {
                int tmpdifference;
                tmpdifference = int.Parse(x[i].ToString()) - int.Parse(y[i].ToString()) + difference[i];
                if (tmpdifference < 0)
                {
                    tmpdifference += 10;
                    difference[i - 1] = -1;//表示借位
                }
                difference[i] = tmpdifference;
            }
            StringBuilder returnvalue = new StringBuilder(string.Concat(difference).TrimStart('0'));
            {
                if (returnvalue.ToString() == "")
                {
                    return "0";
                }
            }
            if (flag == -1)
            {
                returnvalue = returnvalue.Insert(0, "-");
            }
            return returnvalue.ToString();
        }
        //比较大小
        static int checkBigger(string x, string y)
        {
            if (x.Length > y.Length)
            {
                return 1;
            }
            else if (x.Length < y.Length)
            {
                return -1;
            }
            else
            {
                for (int i = 0; i < x.Length; i++)
                {
                    if (int.Parse(x[i].ToString()) > int.Parse(y[i].ToString()))
                    {
                        return 1;
                    }
                    else if (int.Parse(x[i].ToString()) < int.Parse(y[i].ToString()))
                    {
                        return -1;
                    }
                    continue;
                }
                return 0;
            }
        }
        //模拟移位
        static string Power10(string num, int n)
        {
            return num.PadRight(num.Length + n, '0');
        }
                                      
    }
}

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