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机器学习Erdos Renyi随机图

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1 随机图生成简介

1.1Gnp和Gnm

1.2 生成方法

1.3 两种方法比较

2 Gnp随机图

2.1 只用n和p够吗?

n和p并不能完全决定一个图。我们发现即使给定n和p,图也有许多实现形式。如当n=10,p=1/6时,就可能产生如下的图:

2.2 Gnp的图属性

二项分布的离散分布图像如下图所示:

当n足够大时,二项分布可以用正态分布去近似。

我们设

图Gnp的图结构会随着p变化,如下图所示:

根据模拟实验,在Gnp中,平均度大于1时,巨大连通分量恰好出现。

Erdos-Renyi随机图即使扩展到很大,仍然可以保证节点之间只有几跳(hops)的距离,如下所示为图的平均最短路径长度h¯h¯随节点数量变化的关系图:

可以看到平均最短路径长度h¯随着节点数量n增长并满足O(logn)的增长阶。

2.3真实网络和Gnp的对比

相似点: 存在大的连通分量,平均最短路径长度

不同点: 聚类系数,度分布

在实际应用中,随机图模型可能有以下问题:

3 代码库

NetworkX中内置了Erdos-Renyi随机图的生成函数,包括Gnp和Gnm。就是需要注意Gnp的API[6]是

erdos_renyi_graph(n, p, seed=None, directed=False)

该API与nx.binomial_graphnx.gnp_random_graph作用是相同的。

而GnmGnm的API[7]是

nm_random_graph(n, m, seed=seed, directed=False)

故大家在实际使用中要注意区分。

参考

[1]http://web.stanford.edu/class/cs224w/

[2]
Mitzenmacher M, Upfal E. Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis[M]. Cambridge university press, 2017.

[3]https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/随机图

[4]
Erdős P, Rényi A. On the evolution of random graphs[J]. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci, 1960, 5(1): 17-60.

[5]
Gilbert E N. Random graphs[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1959, 30(4): 1141-1144.

[6]https://networkx.org/documentation/stable/reference/generated/networkx.generators.random_graphs.erdos_renyi_graph.html

[7]https://networkx.org/documentation/stable/auto_examples/graph/plot_erdos_renyi.html?highlight=renyi

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