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C语言 计数类DP

小羊努力变强 人气:0

写在前面

之前讲过背包问题线性DP区间DP,不知道大家忘了吗,这次是计数类DP

石子合并

在这里插入图片描述

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老规矩,先画图。

思路:把1,2,3, … n分别看做n个物体的体积,这n个物体均无使用次数限制,问恰好能装满总体积为n的背包的总方案数(完全背包问题变形)

初值问题:

求最大值时,当都不选时,价值显然是 0

而求方案数时,当都不选时,方案数是 1(即前 i 个物品都不选的情况也是一种方案),所以需要初始化为 1

即:for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;

等价变形后: f[0] = 1

状态计算:

f[i][j]表示前i个整数(1,2…,i)恰好拼成j的方案数

求方案数:把集合选0个i,1个i,2个i,…全部加起来

f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;

f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;

因此 f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i]; (这一步类似完全背包的推导)

朴素做法

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[i][0] = 1; // 容量为0时,前 i 个物品全不选也是一种方案
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod; // 特殊 f[0][0] = 1
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n][n] << endl;
}

等价变形

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;


    f[0] = 1; // 容量为0时,前 i 个物品全不选也是一种方案

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = i; j <= n; j ++) {
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n] << endl;
}

上面是完全背包问题的解法,再来看看不用完全背包问题求解

在这里插入图片描述

状态计算:分两部分

综上所述:f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];

//非背包做法
//状态表示:f[i][j] 所有总和是i,并且恰好可以表示成j个数的和的方案
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        //i最多表示成i个数的和,因此j<=i
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = (res + f[n][i]) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

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