Python随机采样及概率分布

前言:

之前的《Python中的随机采样和概率分布》我们介绍了Python中最简单的随机采样函数。接下来我们更进一步，来看看如何从一个概率分布中采样，我们以几个机器学习中最常用的概率分布为例。

1. 二项（binomial）/伯努利（Bernoulli）分布

1.1 概率质量函数(pmf)

二项分布P(X=x; n, p)可以表示进行独立重复试验n次，每次有两成功和失败可能结果（分别对应概率p和1−p），共成功x次的概率。

1.2 函数原型

random.binomial(n, p, size=None)

参数：

n: int or array_like of ints   对应分布函数中的参数 n，>=0，浮点数会被截断为整形。
p: float or array_like of floats   对应分布函数参数p, >=0并且<=1。
size: int or tuple of ints, optional   如果给定形状为(m,n,k)，那么m×n×k个随机样本会从中抽取。默认为None，即返回一个一个标量随机样本。

返回：

out: ndarray or scalar  从带参数的概率分布中采的随机样本，每个样本表示独立重复实验n次中成功的次数。

1.3 使用样例

设进行独立重复实验10次，每次成功概率为0.5，采样样本表示总共的成功次数（相当于扔10次硬币，正面朝上的次数）。总共采20个样本。

import numpy as np
n, p = 10, .5  
s = np.random.binomial(n, p, 20)
print(s) # [4 5 6 5 4 2 4 6 7 2 4 4 2 4 4 7 6 3 5 6]

可以粗略的看到，样本几乎都在5周围上下波动。
我们来看一个有趣的例子。一家公司钻了9口井，每口井成功的概率为0.1，所有井都失败了，发生这种情况的概率是多少？
我们总共采样2000次，来看下产生0结果的概率。

s = sum(np.random.binomial(9, 0.1, 20000) == 0)/20000.
print(s) # 0.3823

可见，所有井失败的概率为0.3823，这个概率还是蛮大的。

2. 多项（multinomial）分布

2.1 概率质量函数(pmf)

也就是说，多项分布式二项分布的推广：仍然是独立重复实验n次，但每次不只有成功和失败两种结果，而是k种可能的结果，每种结果的概率为pi。多项分布是一个随机向量的分布，x=(x1,x2,...,xk)意为第i种结果出现xi次，P(X=x; n, p)也就表示第i种结果出现xi次的概率。

2.2 函数原型

random.multinomial(n, pvals, size=None)

参数：

n: int   对应分布函数中的参数 n。
pvals: sequence of floats   对应分布函数参数p, 其长度等于可能的结果数k，并且有0⩽pi⩽1。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上k，如果给定形状为(m,n)，那么m×n个维度为k的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个k维的随机向量。

返回：

out: ndarray   从带参数的概率分布中采的随机向量，长度为可能的结果数k，如果没有给定 size，则shape为 (k,)。

2.3 使用样例

设进行独立重复实验20次，每次情况的概率为1/6，采样出的随机向量表示每种情况出现次数（相当于扔20次六面骰子，点数为0, 1, 2, ..., 5出现的次数）。总共采1个样本。

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=1)
print(s) # [[4 2 2 3 5 4]]

当然，如果不指定size，它直接就会返回一个一维向量了

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6)
print(s) # [4 1 4 3 5 3]

如果像进行多次采样，改变 size即可：

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=(2, 2))
print(s)
# [[[4 3 4 2 6 1]
#   [5 2 1 6 3 3]]

#  [[5 4 1 1 6 3]
#   [2 5 2 5 4 2]]]

这个函数在论文^[1]的实现代码^[2]中用来设置每一个 client分得的样本数：

for cluster_id in range(n_clusters): 
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)
    # 一共扔clusters_sizes[cluster_id]次筛子，该函数返回骰子落在某个client上各多少次，也就对应着该client应该分得的样本数

3.均匀（uniform）分布

3.1 概率密度函数(pdf)

均匀分布可用于随机地从连续区间[a,b)内进行采样。

3.2 函数原型

random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)

参数：

low: float or array_like of floats, optional   对应分布函数中的下界参数 a，默认为0。
high: float or array_like of floats   对应分布函数中的下界参数 b，默认为1.0。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，如果给定形状为(m,n,k)，那么m×n×k的样本会从中抽取。默认为None，即返回一个单一标量。

返回：

out: ndarray or scalar   从带参数的均匀分布中采的随机样本

3.3 使用样例

s = np.random.uniform(-1,0,10)
print(s)
# [-0.9479594  -0.86158902 -0.63754099 -0.0883407  -0.92845644 -0.11148294
#  -0.19826197 -0.77396765 -0.26809953 -0.74734785]

4. 狄利克雷(Dirichlet)分布

4.1 概率密度函数(pdf)

P(x;α)∝∏i=1kxαi−1ix=(x1,x2,...,xk),xi>0,∑i=1kxi=1α=(α1,α2,...,αk).αi>0

4.2 函数原型

random.dirichlet(alpha, size=None)

参数：
alpha: sequence of floats, length k   对应分布函数中的参数向量 α，长度为k。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上k，如果给定形状为(m,n)，那么m×n个维度为k的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个k维的随机向量。

返回：

out: ndarray   采出的样本，大小为(size,k)。

4.3 使用样例

设α=(10,5,3)(意味着k=3)，size=(2,2)，则采出的样本为2×2个维度为k=3的随机向量。

s = np.random.dirichlet((10, 5, 3), size=(2, 2))
print(s)
# [[[0.82327647 0.09820451 0.07851902]
#   [0.50861077 0.4503409  0.04104833]]

#  [[0.31843167 0.22436547 0.45720285]
#   [0.40981943 0.40349597 0.1866846 ]]]

这个函数在论文[1]的实现代码[2]中用来生成符合狄利克雷分布的权重向量

for cluster_id in range(n_clusters): 
    # 为每个client生成一个权重向量，文章中分布参数alpha每一维都相同
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)