[斯坦福大学2014机器学习教程笔记]第五章-计算数据

    在这节中，我们将学习如何对数据进行运算操作。接下来，我们将会使用这些运算操作来实现我们的学习算法。

    我现在快速地初始化一些变量。比如设置A为一个3x2的矩阵，B为一个3x2的矩阵，c为一个2x2的矩阵。

    我想算两个矩阵的乘积，比如计算AxC，只需输入A*C，这是一个3x2矩阵乘以2x2矩阵，得到这样一个3x2矩阵。

           

    我们还可以对元素进行运算。当输入A.*B的时候，会将A中的各个元素与B中对应的元素相乘。通常来说，在Octave中点号一般用来表示元素运算。

    输入A.^2，这将对矩阵A中的每一个元素进行平方。

              

    设v为列向量[1; 2; 3]，可以输入1./v，得到每一个元素的倒数，所以，就会分别得到1/1 1/2 1/3。矩阵也可以这样操作，1./A 得到A中每一个元素的倒数。

           

    我们还可以输入log(v),对v中的所有元素进行求对数运算。exp(v)就是以e为底，以v中的元素为指数的幂运算。

                   

 

    另外，还可以用abs(v)，对v的每一个元素求绝对值。但是现在v中所有的元素都是正数。我们输入abs([ -1 ; 2 ; -3 ])，来求这个矩阵的所有元素的绝对值。

           

    如果输入-v就会得到v中所有元素的相反数。这等价于-1 * v，但是一般写成-v就可以了。

    如果我想取出v，并对v中的每个元素都加1。其中一个方法是：首先构造一个3行1列的元素全部为1的向量，然后把这个向量跟原来的向量相加。

    这样做的依据是：length(v)的值为3，ones(length(v) ,1) 就相当于令ones的大小为3x1。然后再让它们相加，即v中每个元素都加上1。

    另一种更简单的方法是：直接用 v+1，v + 1 也就等于把v中的每一个元素都加上1。

    如果想求矩阵A的转置，我们可以输入A'（单左引号）这样我们就能得到A的转置。如果想求A的转置的转置，输入(A')'那么我们就会得到原来的矩阵A。

           

    还有一些有用的函数。我们设a=[1 15 2 0.5]，这是一个1行4列矩阵，让我们设val=max(a)，这将返回a中最大的元素，也就是15。还可以设[val, ind] =max(a)，这将返回两个值，val是a中最大的元素，ind是a中该元素的索引。即a中最大的元素为第二个元素，值为15。特别注意：如果你用命令max(A)，而是一个矩阵的话，这样做就是对每一列求最大值。这个我们之后再讨论。

           

    如果我们输入a<3，这称为对应元素比较。这将a中的每一个元素逐个与3进行比较的运算，元素小于3的返回1，否则返回0。

    如果我输入find(a<3)，这将找出a中哪些元素是小于3的，然后返回它们的索引。

    如果输入A = magic(3)，magic 函数将返回一个名为幻方矩阵(magic squares)，它们具有以下这样的数学性质：它们所有的行和列和对角线加起来都等于相同的值。虽然这个函数在机器学习的用处不大，但可以用这个方法很方便地生成一个3x3的矩阵。这些幻方矩阵每行、每列、每个对角线三个数字加起来都是等于同一个数。这是经过数学构造的结果。

              

    如果我们输入[r,c] = find(A>=7)，就会找出A中大于等于7的元素。r和c分别表示行和列，这就表示，第一行第一列的元素大于等于7，第三行第二列的元素大于等于7，第二行第三列的元素大于等于7。

           

    求和函数：当我们输入sum(a)，我们就会得到a中所有元素的和。

    如果我想要a中所有元素的乘积，我们就可以输入prod(a)。它将返回这四个元素的乘积。

    floor(a) 是向下取整。ceil(a)表示向上取整。

           

    如果输入rand(3)，这通常得到一个3×3的随机矩阵。如果输入 max(rand(3),rand(3))，它由两个3×3的随机矩阵中元素较大值的值组成。所有，你会发现这些元素相对而言都比较大。因为它的每个元素都是取两个随机矩阵的对应元素中最大值的结果。

           

    输入max(A,[],1)，这样做会得到每一列的最大值。所以第一列的最大值就是8，第二列是9，第三列的最大值是7，这里的1表示从A矩阵第一个维度去取值。

    相对地，如果我键入max(A,[],2)，这将得到每一行的最大值，所以，第一行的最大值是等于8，第二行最大值是7，第三行是9。

           

    可以用这个方法来求得每行或每列的最值。另外，要记住，默认情况下max(A)返回的是每一列的最大值，如果你想要找出整个矩阵A的最大值，你可以输入max(max(A))，或者你可以将矩阵A转换成一个向量，然后求最大值，可以输入max(A(:))，这就是把A转换成一个向量，并返回向量中的最大值。

           

    最后，让我们把A设计为一个9x9的幻方，幻方的特点是每行每列每对角线的求和都是相等的。这是一个9x9的幻方。

    输入sum(A,1)，计算每一列的总和，这也验证了这个幻方每一列加起来都相等，都为369。输入sum(A,2)，计算每一行的总和，这也验证了这个幻方每一行加起来都相等，都为369。

    接着，我们计算对角线的和，确保它们加起来还是同一个数。现在我们要构造一个9x9的单位矩阵，输入eye(9),然后我们要用A于它元素对应相乘。输入A.*eye(9)，这样做的结果是这两个矩阵对应元素相乘，除了对角线元素外的其他元素都为0。

    然后输入sum(sum(A.*eye(9))，这实际上是求A的对角线的元素之和，确实是369。

    你也可以求另一条对角线（从左下角到右上角的对角线）的和。我们可以输入sum(sum(A.*flipup(eye(9)))，其中flipup表示使矩阵垂直翻转。实际上我们求得另一条对角线和也是369。

    设A=magic(3)。如果你想求A矩阵的逆矩阵，输入pinv(A)，通常称为伪逆矩阵，你就把它看成是矩阵A求逆，因此这就是A矩阵的逆矩阵。设 temp = pinv(A)，然后再用temp乘以A，得到的就是单位矩阵，对角线为1，其他元素为0。

           

    以上就是对矩阵的元素进行运算的方法。在运行一个学习算法之后，最有用的事情去观察结果，或者说让结果可视化。在下一节中，我们会学习如何快速将数据可视化。