线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量

今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。

我们先来看它的定义，定义本身很简单，假设我们有一个n阶的矩阵A以及一个实数\(\lambda\)，使得我们可以找到一个非零向量x，满足：

\[Ax=\lambda x\]

如果能够找到的话，我们就称\(\lambda\)是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的特征向量。

几何意义

光从上面的式子其实我们很难看出来什么，但是我们可以结合矩阵变换的几何意义，就会明朗很多。

我们都知道，对于一个n维的向量x来说，如果我们给他乘上一个n阶的方阵A，得到Ax。从几何角度来说，是对向量x进行了一个线性变换。变换之后得到的向量y和原向量x的方向和长度都发生了改变。

但是，对于一个特定的矩阵A来说，总存在一些特定方向的向量x，使得Ax和x的方向没有发生变化，只是长度发生了变化。我们令这个长度发生的变化当做是系数\(\lambda\)，那么对于这样的向量就称为是矩阵A的特征向量，\(\lambda\)就是这个特征向量对应的特殊值。

求解过程

我们对原式来进行一个很简单的变形：

\[(A-\lambda I)x = 0\]

这里的I表示单位矩阵，如果把它展开的话，可以得到一个n元的齐次线性方程组。这个我们已经很熟悉了，这个齐次线性方程组要存在非零解，那么需要系数行列式

\[|A-\lambda I|\]

不为零，也就是系数矩阵的秩小于n。

我们将这个行列式展开：

\[ \left| \begin{matrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} - \lambda \end{matrix} \right| \]

这是一个以\(\lambda\)为未知数的一元n次方程组，n次方程组在复数集内一共有n个解。我们观察上式，可以发现\(\lambda\)只出现在正对角线上，显然，A的特征值就是方程组的解。因为n次方程组有n个复数集内的解，所以矩阵A在复数集内有n个特征值。

我们举个例子，尝试一下：

假设:

\[ A=\left[ \begin{matrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \\ \end{matrix} \right] \]

那么\(f(\lambda)=(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21}=\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda-|A|\)，我们套入求根公式可以得出使得\(f(\lambda)=0\)的两个根\(\lambda_1, \lambda_2\)，有：\(\lambda_1+\lambda_2=a_{11}+a_{22},\quad \lambda_1\lambda_2=|A|\)。

这个结论可以推广到所有的n都可以成立，也就是说对于一个n阶的方阵A，都可以得到：

1. \(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)
2. \(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|\)

案例

我们下面来看一个例子：

\[A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right]\]

我们带入\((A-\lambda I)x=0\)，可以得到：

\[ \left| \begin{matrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{matrix} \right|=0 \]

所以: \((3-\lambda)^2 - 1 = 0\)，可以看出来\(\lambda_1=2, \quad \lambda_2=4\)

当\(\lambda=2\)时：

\[ \left[ \begin{matrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{matrix} \right]x = 2x \]

\[ \left[ \begin{matrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{matrix} \right][a_1, a_2]^T = [2a_1, 2a_2]^T \]

\[ \begin{aligned} 3a_1 + a_2 &= 2a_1 \\ a_1 + 3a_2 &= 2a_2 \end{aligned} \]

解之，可以得到：\(a_1+a_2=0\)，所有\((x, -x)\)向量都是A的特征向量。

同理，当\(\lambda = 4\)时：
\[ \begin{aligned} \left[ \begin{matrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{matrix} \right]x &= 4x \\ \left[ \begin{matrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{matrix} \right][a_1, a_2]^T &= [4a_1, 4a_2]^T \\ 3a_1 + a_2 &= 4a_1 \\ a_1 + 3a_2 &= 4a_2 \end{aligned} \]

解之，可以得到：\(a_1=a_2\)，所有\((x, x)\)向量都是A的特征向量。

使用Python求解特征值和特征向量

在我们之前的文章当中，我们就介绍过了Python在计算科学上的强大能力，这一次在特征值和特征矩阵的求解上也不例外。通过使用numpy当中的库函数，我们可以非常轻松，一行代码，完成特征值和特征向量的双重计算。

我们一起来看代码：

import numpy as np

a = np.mat([[3, 1], [1, 3]])
lam, vet = np.linalg.eig(a)

np.linalg.eig 方法会返回两个值，第一个返回值是矩阵的特征值，第二个返回值是矩阵的特征向量，我们看下结果：

这里的特征向量为什么是0.707呢？因为Python自动帮我们做好了单位化，返回的向量都是单位向量，不得不说实在是太贴心了。

总结

关于矩阵的特征值和特征向量的介绍到这里就结束了，对于算法工程师而言，相比于具体怎么计算特征向量以及特征值。理解清楚它们的概念和几何意义更加重要，因为这两者在机器学习的领域当中广泛使用，在许多降维算法当中，大量使用矩阵的特征值和特征向量。

对于降维算法的原理，这里不过多赘述，我们会在以后的文章当中更新相关内容。感兴趣的同学可以小小期待一下。

文章到这里就结束了，这也是线性代数专题的最后一篇文章，短短六篇文章当然不能涵盖线性代数这门学科当中的所有知识点，但实际当中常用的内容基本上已经都包括了。下周我们将开始全新的Python专题，希望大家多多期待。

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