题目一

计算十进制数字在二进制表示 1 的个数

举个例子:

• 十进制数字为 1 时，它的二进制表示是 001，二进制表示 1 的个数为 1；
• 十进制数字为 2 时，它的二进制表示是 010，二进制表示 1 的个数为 1；
• 十进制数字为 3 时，它的二进制表示是 011，二进制表示 1 的个数为 2；
• 十进制数字为 4 时，它的二进制表示是 100，二进制表示 1 的个数为 1；
• 十进制数字为 5 时，它的二进制表示是 101，二进制表示 1 的个数为 2；
• 十进制数字为 6 时，它的二进制表示是 110，二进制表示 1 的个数为 2；
• 十进制数字为 7 时，它的二进制表示是 111，二进制表示 1 的个数为 3；

时间复杂度 O(logn) 的解法

对于这个题目比较容易想到的是如下代码：

int count = 0;

while(n != 0)
{
    if(n % 2 == 1)
    {
        count++;
    }
    
    n = n >> 1;
}

上述代码主要做了两个步骤：

• n % 2 表示对数字求模运算，也就是计算二进制的末尾是 1 还是 0，如果二进制的末尾是 1 ，则 count 自增，count 表示的是二进制表示 1 的个数；
• n = n >> 1 表示把二进制往右移走一位，比如十进制数字 7 的二进制表示是 111 ，那么通过右移一位后，则变成 011。

这个解决方式虽然能计算出二进制表示 1 的个数，但是我们可以发现这个解法的时间复杂度是 O(logn)，比如当 n 为 7 时，它的二进制表示是 111，那么它将会循环 3 次，也就是非常接近 log 以 2 为底 7 的对数的值。

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题目二

程序读入一个整数 n，假设 n 不会大于 1000，请输出 1 到 n 每个数字的二进制表示 1 的个数。

时间复杂度 O(nlogn) 的解法

可能有的小伙伴说，这题目二还不简单？直接把上面的解法，增加个 for 循环不就得了。

int main() 
{
    int i, j, n, count;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        j = i;
        count = 0;
        
        while(j != 0)
        {
            if(j % 2 == 1)
            {
                count++;
            }
    
            j = j >> 1;
        }
        
        printf("number:%d, count:%d\n", i, count);
    }

    return 0;
}

假设输入 7，则输出结果：

number:1, count:1
number:2, count:1
number:3, count:2
number:4, count:1
number:5, count:2
number:6, count:2
number:7, count:3
number:8, count:1

没错，用上述的解法增加个 for 循环，确实可以解决题目二的要求，这值得鼓励，但是程序的时间复杂度是时间复杂度 O(nlogn) ，运行效率不高，所以我们必须要有种精神，就是要用时间复杂度最少的方式去解决算法的问题，这样才能一次一次的进步。

时间复杂度 O(n) 的解法

请先观察下面的位运算性质：

y = x & (x - 1)

我们看到，x 和与 x -1 这两个数字做按位与运算，所以我们要以二进制的角度去思考这个问题。

比如：

• 假设 x 是 3，它的二进制是 011；
• 那么 x - 1 就是 2，它的二进制是 010；
• x & (x - 1) 运算后的二进制就是 010。

那么 x & (x - 1) 实际效果等效于去掉 x 二进制表示中的最后一位 1，从而我们发现原来 y 变量与 x 变量在二进制表示中，只差一个 1。

如果我们用一个数组 f 记录相应数字二进制表示中 1 的数量，那么 f[i] 数组存放的值是 i 这个数字二进制表示中 1 的数量，从而我们可以推导得到 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1，也就是说 i 数字比 i & (i - 1) 数字的二进制表示中的 1 的数量要多一个，这样我们通过一步计算就得到 f[i] 的结果，也就是相应数字二进制表示中 1 的数量结果。

代码如下：

int main() 
{
    int n,i;
    int f[1001];
    
    f[0] = 0;
    
    scanf("%d", &n);

    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
    }
    
    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        printf("%d ", f[i]);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}

这个程序的过程如下：

• 首先先读入一个整数 n，代表要求解的范围;
• 然后循环 n 次，每一次通过 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1 计算得到 f[i] 的值，也就是数字的二进制表示 1 的个数;
• 最后输出 1 到 n 中每个数字二进制表示中 1 的个数。

针对这个解法，程序的时间复杂度是 O(n)。