玩玩24点（中）
jerry_fuyi 人气:3《玩玩24点》系列：
上篇
中篇
序
在上篇中，我用上位机程序遍历了4个1~13的数的1820种组合，通过递归穷举计算出其中1362组的24点接法，并转换为二进制形式，放到单片机程序中，减少了单片机24点游戏程序的计算量，获得了不错的游戏体验。
上篇的最后留了一个疯狂暗示，但时至如今我也没有实现出来，因为写完上篇过后一直在准备各种比赛和考试，这两天也在写AVR单片机教程，一直都没有空去管它。
写这篇中篇的原因，是几个没有作业写甚至不需要高考的同学在玩一种24点游戏的升级版——用计算器按出5个1~20的随机整数，通过四则运算获得不超过50的最大有理数。经过一整个晚自修的手算后，他们想起我之前写的24点，来问我他们算出的是不是上界。
我写算法注重可复用性，毕竟不是std::都不写的OI。于是我很快就在上次程序的基础上写成了他们要的算法。
这个程序，以及人机计算能力的对比，虽然毫无悬念，但是先放一边。我对上篇所写的内容有一些更深的思考。
算式的可读性
实际上这个24点程序还远不完美。单片机经常在屏幕上输出诡异的解法，比如
10 * 12 = 120, 120 / 5 = 24，这些是不符合人类计算逻辑的，正常人想到的都是10 / 5 = 2, 2 * 12 = 24。一个可行的方法是把递归搜索的顺序换一下，先减再加，先除后乘，在除法中优先用最大的数除以最小的数。但还是会出现12 / 5 = 12/5, 12/5 * 10 = 24这样的式子，最根本的算法还是根据表达式建立树，在树上调整顺序。也许4个数算24点的情况不需要这么复杂，但这是万能的、具有可扩展性的做法（也有可能是我想多了）。
这是上篇中提出的问题与解决方案，现在我认为需要修改。
首先，对于5, 10, 12的例子，我已经找到简单方法来使程序输出符合人类逻辑的算式了：搜索顺序改为减法、加法、结果为整数的除法、乘法、结果为分数的除法（代码可以在后面的程序中找到，这里就不单独放了）。在更新算法后我试玩了几十组，发现程序给出的结果都是比较正常的，因此这个问题至少在4数24点的问题中算是解决了。
其次，作为看似更好的算法，即使我能克服学数据结构时对树的恐惧，成功地用二叉树表达了算式，“在树上调整顺序”的概念也是模糊的。用什么规则来调整呢？如果是整数优先，那么10 / 5可以保证，但是在新的游戏规则中，如果运算数是2, 3, 33，最优结果是99/2，程序会先计算33 * 3，再计算99 / 2，而我的思路会是33 * 1.5。那么这算什么规则呢？其他的情况呢？理不清。
所以，调整一下搜索顺序，见好就收吧。
4数24点的优化
一位对计算机程序一无所知的数学竞赛同学对求解24点的算法十分感兴趣。在我绞尽脑汁跟他解释通这个程序后，他认为这个算法不好，因为有大量的重复计算。
有道理。比方说1, 2, 3，原来的算法会先算1 + 2，替换为3，用3, 3递归调用，得到6，这是1 + 2 + 3，然后还有1 + 3 + 2和2 + 3 + 1；1, 2, 3, 4就更多了。
他提出“分治”的策略：24一定是由两个中间结果加减乘除得到的，而每个中间结果也都是由两个运算数得到的。在为他凭空想出分治而震惊之余，我指出这是错的，这很显然。
但这个想法还是有一定启发性的。为了优化4数24点的求解算法，我想还不如枚举出所有可能的运算结构算了：
a * b * c * da + b + c + da * b + c + da * b * (c + d)a * b * c + da * (b + c + d)a * b + c * d(a + b) * (c + d)(a * b + c) * d(a + b) * c + d
其中+代表加或减，*代表乘或除。偶数序号的结构都是前一个奇数序号结构的对偶，指把加减与乘除互换，加括号保证原有的优先级。
inline bool read_bit(int c, int b)
{
return c & (1 << b);
}
class fast_vector
{
public:
void push_back(const Rational& r)
{
data[size++] = r;
}
Rational* begin()
{
return data;
}
Rational* end()
{
return data + size;
}
private:
Rational data[1 << max_count];
int size = 0;
};
using vector_type = fast_vector;
void all_sum(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
auto end = (1 << data.size()) - 1;
for (int c = 0; c != end; ++c)
{
Rational sum = 0;
bool valid = true;
for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
if (!read_bit(c, b))
sum += data[b];
for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
if (read_bit(c, b))
{
if (sum < data[b])
{
valid = false;
break;
}
sum -= data[b];
}
if (valid)
result.push_back(sum);
}
}
void all_pro(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
auto end = (1 << data.size()) - 1;
for (int c = 0; c != end; ++c)
{
Rational pro = 1;
bool valid = true;
for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
{
if (read_bit(c, b))
{
if (data[b] == 0)
{
valid = false;
break;
}
pro /= data[b];
}
else
pro *= data[b];
}
if (valid)
result.push_back(pro);
}
}
bool test_sum(const Rational& lhs, const Rational& rhs)
{
if (lhs + rhs == target)
return true;
if (lhs < rhs && rhs - lhs == target)
return true;
if (rhs < lhs && lhs - rhs == target)
return true;
return false;
}
bool test_pro(const Rational& lhs, const Rational& rhs)
{
if (lhs * rhs == target)
return true;
if (rhs != 0 && rhs / lhs == target)
return true;
if (lhs != 0 && lhs / rhs == target)
return true;
return false;
}
bool solve(int a, int b, int c, int d)
{
std::vector<Rational> data(4);
data[0] = a;
data[1] = b;
data[2] = c;
data[3] = d;
// a * b * c * d
{
vector_type pro;
all_pro(data, pro);
for (const auto& r : pro)
if (r == target)
return true;
}
// a + b + c + d
{
vector_type sum;
all_sum(data, sum);
for (const auto& r : sum)
if (r == target)
return true;
}
// a * b + c + d
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto pm = data;
pm.erase(pm.begin() + j);
pm.erase(pm.begin() + i);
std::vector<Rational> md{ data[i], data[j] };
vector_type pro;
all_pro(md, pro);
for (const auto& r : pro)
{
pm.push_back(r);
vector_type sum;
all_sum(pm, sum);
for (const auto& r : sum)
if (r == target)
return true;
pm.pop_back();
}
}
// a * b * (c + d)
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto md = data;
md.erase(md.begin() + j);
md.erase(md.begin() + i);
std::vector<Rational> pm{ data[i], data[j] };
vector_type sum;
all_sum(pm, sum);
for (const auto& r : sum)
{
md.push_back(r);
vector_type pro;
all_pro(md, pro);
for (const auto& r : pro)
if (r == target)
return true;
md.pop_back();
}
}
// a * b * c + d
for (int i = 0; i != 4; ++i)
{
auto md = data;
md.erase(md.begin() + i);
vector_type pro;
all_pro(md, pro);
for (const auto& r : pro)
if (test_sum(data[i], r))
return true;
}
// a * (b + c + d)
for (int i = 0; i != 4; ++i)
{
auto pm = data;
pm.erase(pm.begin() + i);
vector_type sum;
all_sum(pm, sum);
for (const auto& r : sum)
if (test_pro(data[i], r))
return true;
}
// a * b + c * d
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto md2 = data;
md2.erase(md2.begin() + j);
md2.erase(md2.begin() + i);
decltype(md2) md1{ data[i], data[j] };
vector_type pro1, pro2;
all_pro(md1, pro1);
all_pro(md2, pro2);
for (const auto& r1 : pro1)
for (const auto& r2 : pro2)
if (test_sum(r1, r2))
return true;
}
// (a + b) * (c + d)
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto pm2 = data;
pm2.erase(pm2.begin() + j);
pm2.erase(pm2.begin() + i);
decltype(pm2) pm1{ data[i], data[j] };
vector_type sum1, sum2;
all_sum(pm1, sum1);
all_sum(pm2, sum2);
for (const auto& r1 : sum1)
for (const auto& r2 : sum2)
if (test_pro(r1, r2))
return true;
}
// (a * b + c) * d
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto rest = data;
rest.erase(rest.begin() + j);
rest.erase(rest.begin() + i);
std::vector<Rational> md{ data[i], data[j] };
vector_type pro;
all_pro(md, pro);
for (const auto& r : pro)
{
for (int k = 0; k != 2; ++k)
{
std::vector<Rational> pm{ r, rest[k] };
vector_type sum;
all_sum(pm, sum);
for (const auto& r : sum)
if (test_pro(r, rest[1 - k]))
return true;
}
}
}
// (a + b) * c + d
for (int i = 0; i != 3; ++i)
for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
{
auto rest = data;
rest.erase(rest.begin() + j);
rest.erase(rest.begin() + i);
std::vector<Rational> pm{ data[i], data[j] };
vector_type sum;
all_sum(pm, sum);
for (const auto& r : sum)
{
for (int k = 0; k != 2; ++k)
{
std::vector<Rational> md{ r, rest[k] };
vector_type pro;
all_pro(md, pro);
for (const auto& r : pro)
if (test_sum(r, rest[1 - k]))
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
auto start_time = std::clock();
int count = 0;
for (int a = 1; a <= max_num; ++a)
for (int b = a; b <= max_num; ++b)
for (int c = b; c <= max_num; ++c)
for (int d = c; d <= max_num; ++d)
if (solve(a, b, c, d))
++count;
std::cout << count << std::endl;
std::cout << (static_cast<double>(std::clock()) - start_time) * 1000
/ CLOCKS_PER_SEC << "ms" << std::endl;
return 0;
}Integer为int，Rational和Expression的定义见上篇。
原算法没有使用std::vector数据结构，由于STL的糟糕性能，我写了个不涉及动态内存分配的fast_vector来替换存储运算结果的std::vector；运算数的懒得改了。
算法的核心在于all_sum函数，用于求出data数组中的元素通过加减法可以得到的所有结果：
void all_sum(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
auto end = (1 << data.size()) - 1;
for (int c = 0; c != end; ++c)
{
Rational sum = 0;
bool valid = true;
for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
if (!read_bit(c, b))
sum += data[b];
for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
if (read_bit(c, b))
{
if (sum < data[b])
{
valid = false;
break;
}
sum -= data[b];
}
if (valid)
result.push_back(sum);
}
}函数用一个整数c表示data数组中各元素取加号还是减号，当二进制c的第b位为0时（最低位为第0位），下标为b的元素取加号，否则取减号；c取不到0b11...1（data.size()个1），是因为不能所有元素都取减号。对于每个c，如果算出来的值是有效的，就把它追加到结果的数组中去。我把返回值写成了引用参数，虽然编译器很可能RVO（返回值优化），我还是手动写出来以明确我提升性能的意图。
all_pro函数类似，只不过计算的是积与商。
程序在VS2019中编译，配置为Release、x86，在没插电的最节能配置下的i7-7700HQ上测试，从命令行调用，优化算法的平均运行时间为55ms，而原算法为82ms，是有明显提升的。
概率问题
在一篇研究24点游戏的文章中，有这样一句话：
其实还有一个原因，就是有解的概率太小了。4个数字的话也就大约80%的题能算，如果算上人头牌，可解的题就只有75%了。
没错，在1820种可能的4数组合中，有1362种有解，比例为74.8%。
但是注意，我说的是“比例”而不是“概率”，这两者是有区别的。要计算“有解的概率”，必须先确定出题的方式。
如果是从1820道题目的题库中等概率地选择一道，类似与上篇中提到的单片机程序一样，这样每一道题被选中都是古典概型中的基本事件，有解概率就是74.8%。
如果是从52张扑克牌中等概率地选择4张，那么概率就不是74.8%，因为每一种题目出现的概率是不相等的。比如，6, 6, 6, 6出现的概率为\(1 / C_{52}^{4}\)，而1, 2, 3, 4出现的概率为\(4! / C_{52}^{4}\)，两者相差24倍。每一种4数的有序排列都是古典概型中的基本事件，有解概率需要重新计算。
std::set<std::vector<Integer>> solution;
int solved = 0;
int total = 0;
int card[4];
std::vector<Integer> comb(4);
for (card[0] = 0; card[0] != 49; ++card[0])
for (card[1] = card[0] + 1; card[1] != 50; ++card[1])
for (card[2] = card[1] + 1; card[2] != 51; ++card[2])
for (card[3] = card[2] + 1; card[3] != 52; ++card[3])
{
++total;
for (int i = 0; i != 4; ++i)
comb[i] = card[i] / 4 + 1;
if (solution.find(comb) != solution.end())
++solved;
}
std::cout << solved << " / " << total << std::endl;其中，solution已经保存了有解的4数组合。程序的输出为：
217817 / 270725这个比例为80.5%，也是这种模型下有解的概率。
新款50点游戏
未完待续，明天更。
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