[ch04-01] 用最小二乘法解决线性回归问题
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4.1 最小二乘法
4.1.1 历史
最小二乘法，也叫做最小平方法（Least Square），它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最小二乘法来表达。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
4.1.2 数学原理
线性回归试图学得：
\[z(x_i)=w \cdot x_i+b \tag{1}\]
使得：
\[z(x_i) \simeq y_i \tag{2}\]
其中，\(x_i\)是样本特征值，\(y_i\)是样本标签值，\(z_i\)是模型预测值。
如何学得w和b呢？均方差(MSE - mean squared error)是回归任务中常用的手段：
\[
J = \sum_{i=1}^m(z(x_i)-y_i)^2 = \sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)^2 \tag{3}
\]
\(J\)称为损失函数。实际上就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的残差的平方和最小。
图4-3 均方差函数的评估原理
图4-3中，圆形点是样本点，直线是当前的拟合结果。如左图所示，我们是要计算样本点到直线的垂直距离，需要再根据直线的斜率来求垂足然后再计算距离，这样计算起来很慢；但实际上，在工程上我们通常使用的是右图的方式，即样本点到直线的竖直距离，因为这样计算很方便，用一个减法就可以了。
假设我们计算出初步的结果是虚线所示，这条直线是否合适呢？我们来计算一下图中每个点到这条直线的距离，把这些距离的值都加起来（都是正数，不存在互相抵消的问题）成为误差。
因为上图中的几个点不在一条直线上，所以不能有一条直线能同时穿过它们。所以，我们只能想办法不断改变红色直线的角度和位置，让总体误差最小（用于不可能是0），就意味着整体偏差最小，那么最终的那条直线就是我们要的结果。
如果想让误差的值最小，通过对w和b求导，再令导数为0（到达最小极值），就是w和b的最优解。
推导过程如下：
\[ \begin{aligned} {\partial{J} \over \partial{w}} &={\partial{(\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)^2)} \over \partial{w}} \\ &= 2\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)(-x_i) \end{aligned} \tag{4} \]
令公式4为0：
\[ \sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)x_i=0 \tag{5} \]
\[ \begin{aligned} {\partial{J} \over \partial{b}} &={\partial{(\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)^2)} \over \partial{b}} \\ &=2\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)(-1) \end{aligned} \tag{6} \]
令公式6为0：
\[ \sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)=0 \tag{7} \]
由式7得到（假设有m个样本）：
\[ \sum_{i=1}^m b = m \cdot b = \sum_{i=1}^m{y_i} - w\sum_{i=1}^m{x_i} \tag{8} \]
两边除以m：
\[ b = {1 \over m}(\sum_{i=1}^m{y_i} - w\sum_{i=1}^m{x_i})=\bar y-w \bar x \tag{9} \]
其中：
\[ \bar y = {1 \over m}\sum_{i=1}^m y_i, \bar x={1 \over m}\sum_{i=1}^m x_i \tag{10} \]
将公式10代入公式5：
\[ \sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-\bar y + w \bar x)x_i=0 \]
\[ \sum_{i=1}^m(x_i y_i-wx^2_i-x_i \bar y + w \bar x x_i)=0 \]
\[ \sum_{i=1}^m(x_iy_i-x_i \bar y)-w\sum_{i=1}^m(x^2_i - \bar x x_i) = 0 \]
\[ w = {\sum_{i=1}^m(x_iy_i-x_i \bar y) \over \sum_{i=1}^m(x^2_i - \bar x x_i)} \tag{11} \]
将公式10代入公式11：
\[ w={\sum_{i=1}^m (x_i \cdot y_i) - \sum_{i=1}^m x_i \cdot {1 \over m} \sum_{i=1}^m y_i \over \sum_{i=1}^m x^2_i - \sum_{i=1}^m x_i \cdot {1 \over m}\sum_{i=1}^m x_i} \tag{12} \]
分子分母都乘以m：
\[ w={m\sum_{i=1}^m x_i y_i - \sum_{i=1}^m x_i \sum_{i=1}^m y_i \over m\sum_{i=1}^m x^2_i - (\sum_{i=1}^m x_i)^2} \tag{13} \]
\[ b=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i) \tag{14} \]
而事实上，式13有很多个变种，大家会在不同的文章里看到不同版本，往往感到困惑，比如下面两个公式也是正确的解：
\[ w = {\sum_{i=1}^m y_i(x_i-\bar x) \over \sum_{i=1}^m x^2_i - (\sum_{i=1}^m x_i)^2/m} \tag{15} \]
\[ w = {\sum_{i=1}^m x_i(y_i-\bar y) \over \sum_{i=1}^m x^2_i - \bar x \sum_{i=1}^m x_i} \tag{16} \]
以上两个公式，如果把公式10代入，也应该可以得到和式13相同的答案，只不过需要一些运算技巧。比如，很多人不知道这个神奇的公式：
\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^m (x_i \bar y) &= \bar y \sum_{i=1}^m x_i =\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^m y_i) (\sum_{i=1}^m x_i) \\ &=\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^m x_i) (\sum_{i=1}^m y_i)= \bar x \sum_{i=1}^m y_i \\ &=\sum_{i=1}^m (y_i \bar x) \end{aligned} \tag{17} \]
4.1.3 代码实现
我们下面用Python代码来实现一下以上的计算过程：
计算w值
# 根据公式15
def method1(X,Y,m):
x_mean = X.mean()
p = sum(Y*(X-x_mean))
q = sum(X*X) - sum(X)*sum(X)/m
w = p/q
return w
# 根据公式16
def method2(X,Y,m):
x_mean = X.mean()
y_mean = Y.mean()
p = sum(X*(Y-y_mean))
q = sum(X*X) - x_mean*sum(X)
w = p/q
return w
# 根据公式13
def method3(X,Y,m):
p = m*sum(X*Y) - sum(X)*sum(Y)
q = m*sum(X*X) - sum(X)*sum(X)
w = p/q
return w由于有函数库的帮助，我们不需要手动计算sum(), mean()这样的基本函数。
计算b值
# 根据公式14
def calculate_b_1(X,Y,w,m):
b = sum(Y-w*X)/m
return b
# 根据公式9
def calculate_b_2(X,Y,w):
b = Y.mean() - w * X.mean()
return b4.1.4 运算结果
用以上几种方法，最后得出的结果都是一致的，可以起到交叉验证的作用：
w1=2.056827, b1=2.965434
w2=2.056827, b2=2.965434
w3=2.056827, b3=2.965434代码位置
ch04, Level1
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