[ch02-02] 非线性反向传播
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2.2 非线性反向传播
2.2.1 提出问题
在上面的线性例子中,我们可以发现,误差一次性地传递给了初始值w和b,即,只经过一步,直接修改w和b的值,就能做到误差校正。因为从它的计算图看,无论中间计算过程有多么复杂,它都是线性的,所以可以一次传到底。缺点是这种线性的组合最多只能解决线性问题,不能解决更复杂的问题。这个我们在神经网络基本原理中已经阐述过了,需要有激活函数连接两个线性单元。
下面我们看一个非线性的例子,如图2-8所示。
图2-8 非线性的反向传播
其中\(1<x<=10,0<y<2.15\)。假设有5个人分别代表x、a、b、c、y:
正向过程
- 第1个人,输入层,随机输入第一个x值,x取值范围(1,10],假设第一个数是2
- 第2个人,第一层网络计算,接收第1个人传入x的值,计算:\(a=x^2\)
- 第3个人,第二层网络计算,接收第2个人传入a的值,计算b:\(b=\ln (a)\)
- 第4个人,第三层网络计算,接收第3个人传入b的值,计算c:\(c=\sqrt{b}\)
- 第5个人,输出层,接收第4个人传入c的值
反向过程
- 第5个人,计算y与c的差值:\(\Delta c = c - y\),传回给第4个人
- 第4个人,接收第5个人传回\(\Delta c,计算\Delta b:\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b}\)
- 第3个人,接收第4个人传回\(\Delta b,计算\Delta a:\Delta a = \Delta b \cdot a\)
- 第2个人,接收第3个人传回\(\Delta a,计算\Delta x:\Delta x = \Delta a / 2x\)
- 第1个人,接收第2个人传回\(\Delta x,更新x:x = x - \Delta x\),回到第1步
提出问题:假设我们想最后得到c=2.13的值,x应该是多少?(误差小于0.001即可)
2.2.2 数学解析解
\[c=\sqrt{b}=\sqrt{\ln(a)}=\sqrt{\ln(x^2)}=2.13\]
\[x = 9.6653\]
2.2.3 梯度迭代解
\[
\frac{da}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}=2x=\frac{\Delta a}{\Delta x} \tag{1}
\]
\[
\frac{db}{da} =\frac{d(\ln{a})}{da} =\frac{1}{a} = \frac{\Delta b}{\Delta a} \tag{2}
\]
\[
\frac{dc}{db}=\frac{d(\sqrt{b})}{db}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{\Delta c}{\Delta b} \tag{3}
\]
因此得到如下一组公式,可以把最后一层\(\Delta c\)的误差一直反向传播给最前面的\(\Delta x\),从而更新x值:
\[
\Delta c = c - y \tag{4}
\]
\[
\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b} \tag{根据式3}
\]
\[
\Delta a = \Delta b \cdot a \tag{根据式2}
\]
\[
\Delta x = \Delta a / 2x \tag{根据式1}
\]
我们给定初始值\(x=2,\Delta x=0\),依次计算结果如表2-2。
表2-2 正向与反向的迭代计算
方向 | 公式 | 迭代1 | 迭代2 | 迭代3 | 迭代4 | 迭代5 |
---|---|---|---|---|---|---|
正向 | \(x=x-\Delta x\) | 2 | 4.243 | 7.344 | 9.295 | 9.665 |
正向 | \(a=x^2\) | 4 | 18.005 | 53.934 | 86.404 | 93.233 |
正向 | \(b=\ln(a)\) | 1.386 | 2.891 | 3.988 | 4.459 | 4.535 |
正向 | \(c=\sqrt{b}\) | 1.177 | 1.700 | 1.997 | 2.112 | 2.129 |
标签值y | 2.13 | 2.13 | 2.13 | 2.13 | 2.13 | |
反向 | \(\Delta c = c - y\) | -0.953 | -0.430 | -0.133 | -0.018 | |
反向 | \(\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b}\) | -2.243 | -1.462 | -0.531 | -0.078 | |
反向 | \(\Delta a = \Delta b \cdot a\) | -8.973 | -26.317 | -28.662 | -6.698 | |
反向 | \(\Delta x = \Delta a / 2x\) | -2.243 | -3.101 | -1.951 | -0.360 |
表2-2,先看“迭代-1”列,从上到下是一个完整的正向+反向的过程,最后一行是-2.243,回到“迭代-2”列的第一行,2-(-2.243)=4.243,然后继续向下。到第5轮时,正向计算得到的c=2.129,非常接近2.13了,迭代结束。
运行示例代码的话,可以得到如下结果:
how to play: 1) input x, 2) calculate c, 3) input target number but not faraway from c
input x as initial number(1.2,10), you can try 1.3:
2
c=1.177410
input y as target number(0.5,2), you can try 1.8:
2.13
forward...
x=2.000000,a=4.000000,b=1.386294,c=1.177410
backward...
delta_c=-0.952590, delta_b=-2.243178, delta_a=-8.972712, delta_x=-2.243178
......
forward...
x=9.655706,a=93.232666,b=4.535098,c=2.129577
backward...
done!
为节省篇幅只列出了第一步和最后一步(第5步)的结果,第一步时c=1.177410,最后一步时c=2.129577,停止迭代。
代码位置
ch02, Level2
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