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C语言程序设计100例之(8):尼科彻斯定理

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例8    尼科彻斯定理

题目描述

尼科彻斯定理可以叙述为:任何一个整数的立方都可以表示成一串连续的奇数的和。需要注意的是,这些奇数一定是连续的,如:1,3,5,7,9,…。

例如,对于整数5,5*5*5=125=21+23+25+27+29。

对于整数6,216=31+33+35+37+39+41,

也可以表示为216=7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29。

请你编写程序对这个定理进行验证。

输入格式

一个整数n(2≤n≤1000)。

输出格式

将n的立方表示为一串连续的奇数的和,具体格式见输出样例。若有多种表示方式,任意输出一种即可。

输入样例

29

输出样例

29*29*29=24389=813+815+817+819+821+823+825+827+829+831+833+835+837+839+841+843+845+847+849+851+853+855+857+859+861+863+865+867+869

        (1)编程思路1。

        先计算输入数n的立方num,然后从1(用变量i记录)开始累计和sum,累计每次j加2保证下个数也为奇数,如果累加和sum大于立方数num时,跳出本次循环,进行下一次的尝试(i=3或5、7、…开始累积和)。当找到后,记录开始位置(即i),结束位置(即j),输出。

        程序写成一个嵌套的二重循环。外循环i控制累计和的起点,内循环累计i、i+2、i+4、…的和。

      (2)源程序1。

#include<stdio.h>

int main()

{

    int n,num,sum,i,j,k,flag;

    while(1)

    {

         scanf("%d",&n);

         if(n==0)  break;

         num = n * n * n;

         flag=0;

         for(i=1; i<num && flag==0; i=i+2)

        {

            sum=0;

            for(j=i; j<num; j=j+2)

            {

               sum += j;

               if(sum == num)

              {

                  printf("%d*%d*%d=%d=%d",n,n,n,num,i);

                  for (k=i+2; k<=j;k+=2)

                      printf("+%d",k);

                  printf("\n");

                  flag=1;

                  break;

              }

              else if (sum > num)

                  break;

           }

       }

    }

    return 0;

}

      (3)编程思路2。

        源程序1的思路是通过试探的方法来验证尼科彻斯定理,采用二重循环实现。

        实际上,n的立方一定可以表示为一个等差数列的各项和,该等差数列的首项为n*n-n+1,公差为2,项数为n。

        按等差数列的求和公式知该数列的和为:

        [(n*n-n+1)+( n*n-n+1)+ 2 (n-1)]*n/2 =n*n*n

        因此,直接用循环输出这个等差数列的各项即可。

       (4)源程序2。

#include<stdio.h>

int main()

{

    int n,a,i;

    while(1)

    {

         scanf("%d",&n);

         if(n==0)  break;

        // 输出等差数列,首项为n*n-n+1,公差为2,项数为n

        a=n*n-n+1;

        printf("%d*%d*%d=%d=%d",n,n,n,n*n*n,a);

        for (i=1; i<n;i++)

             printf("+%d",a+i*2);

        printf("\n");

    }

    return 0;

习题8

8-1  谷角猜想

题目描述

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

请你编写程序对这个猜想进行验证。

输入格式

一个自然数n。

输出格式

把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程输出。具体格式见输出样例。

输入样例

34

输出样例

34/2=17

17*3+1=52

52/2=26

26/2=13

13*3+1=40

40/2=20

20/2=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1

         (1)编程思路。

        定义迭代变量为n,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时,n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。

        这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。由于对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,从而完成验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n==1 。

       (2)源程序。

#include<stdio.h>

int main()

{

   unsigned int data;

   scanf("%d",&data);

   while(data!=1)

   {

        if((data%2==0))

        {

                 printf("%d/2=%d\n",data,data/2);

                 data/=2;

         }

        else

        {

                printf("%d*3+1=%d\n",data,data*3+1);

                data=data*3+1;

        }

   }

   return 0;

}

8-2  四方定理

题目描述

数论中著名的“四方定理”是:所有自然数至多只要用四个不小于0的整数的平方和就可以表示。

编写一个程序验证此定理。

输入格式

一个自然数n。

输出格式

把自然数 n 表示为四个数的平方和。具体格式见输出样例。

输入样例

147

输出样例

7*7+7*7+7*7+0*0=147

8*8+7*7+5*5+3*3=147

9*9+5*5+5*5+4*4=147

9*9+7*7+4*4+1*1=147

9*9+8*8+1*1+1*1=147

11*11+4*4+3*3+1*1=147

11*11+5*5+1*1+0*0=147

12*12+1*1+1*1+1*1=147

        (1)编程思路。

        对于待验证的自然数n,用四个变量i、j、k、l采用试探的方法,穷举进行计算,满足要求(i *i + j * j + k * k + l * l == n)时输出计算结果。

        在穷举时,不妨设i≥j≥k≥l。因此,穷举的范围可确定为:

1 ≤ i ≤ n/2

0 ≤ j ≤ i

0 ≤ k ≤ j

0 ≤ l ≤ k

       (2)源程序。

#include<stdio.h>

int main()

{

    int n,i,j,k,l;

    scanf("%d",&n);

    for (i = 1; i <= n/2; i++)          // 对i,j,k,l进行穷举

        for (j = 0; j <= i; j++)

            for (k = 0; k <= j; k++)

                for (l = 0; l <= k; l++)

                    if (i *i + j * j + k * k + l * l == n)

                     {

                          printf("%d*%d+%d*%d+%d*%d+%d*%d=%d\n",i,i,j,j,k,k,l,l,n);

                      } 

   return 0;

}

8-3  卡布列克运算

问题描述

所谓卡布列克运算,是指任意一个四位数,只要它们各个位上的数字不全相同,就有这样的规律:

(1)把组成这个四位数的四个数字由大到小排列,形成由这四个数字构成的最大的四位数;

(2)把组成这个四位数的四个数字由小到大排列,形成由这四个数字构成的最小的四位数(如果四个数字中含有0,则此数不足四位);

(3)求出以上两数之差,得到一个新的四位数。

重复以上过程,总能得到最后的结果是 6174。

例如,n= 3280,验证结果为:8320-238=8082  8820-288=8532  8532-2358=6174

编写一个程序对卡布列克运算进行验证。

输入数据

一个各位上的数字不全相同的四位数n。

输出要求

把 n 经过有限次卡布列克运算后,最终变成6174的全过程输出。具体格式见输出样例。

输入样例

2019

输出样例

9210-129=9081

9810-189=9621

9621-1269=8352

8532-2358=6174

 YES

       (1)编程思路。

为实现验证程序,编写4个函数。

void parse_sort(int each[],int num) 将num分解为各位数字并排序后存入数组each[]中。

int minD(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最大数。

int maxD(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最小数。

int pow10_int(int n) 求10的N次方。

     (2)源程序。

#include <stdio.h>

#define N 4

int pow10_int(int n);  // 求10的N次方

void parse_sort(int each[],int num); // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中

int minD(int each[]);  // 求数组each可组成的最大数

int maxD(int each[]);  // 求数组each可组成的最小数

int main()

{

    int number,max,min;

    int each[N];

    scanf("%d",&number);

    while(number!=6174)

    {

        parse_sort(each,number);

        max=maxD(each);

                   min=minD(each);

                   number=max-min;

                   printf("%d-%d=%d\n",max,min,number);

    }

    printf(" YES\n");

    return 0;

}

int pow10_int(int n)  // 求10的N次方的函数

{

    int sum=1;

    for(int i=0;i<n;i++)

         sum=sum*10;

    return sum;

}

void parse_sort(int each[],int num) // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中

{

         int m,i,j,t;

          for (i=0;i<N;i++)

                    each[i]=0;

          i=0;

         while(num!=0)

          {

               m=num%10;   num=num/10;

              each[i++]=m;

         }

         for(i=0;i<N-1;i++)

             for (j=0;j<N-1-i;j++)

                     if (each[j]>each[j+1])

                     {

                              t=each[j];

                              each[j]=each[j+1];

                              each[j+1]=t;

                     }

}

int minD(int each[])  // 求数组each可组成的最大数

{

    int sum=0,i;

    for(i=0;i<N;i++)

        sum+=each[i]*pow10_int( (N-1-i) );

    return sum;

}

int maxD(int each[])  // 求数组each可组成的最小数

{

    int sum=0,i;

    for(i=0;i<N;i++)

        sum=sum+each[i]*pow10_int(i);

    return sum;

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