Java图论进阶之最小生成树算法详解

时间:2023-02-02 Node_Hao 人气:0

1. 最小生成树

连通图中的每一棵生成树 , 都是原图的极大无环子图 , 即: 从中删去任何一条边 , 生成树就不再连通;反之 , 在其中引入任何一条新边 , 都会形成一条回路.

若连通图由n个顶点组成 , 则其生成树必含n个顶点和n-1条边 , 因此构造最小生成树有三个准则:

1.只能使用图中的边来构造最小生成树
2.只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
3.选用的n-1条边不能构成回路

常见求解最小生成树的算法有: Kruskal算法和Prime算法.两种算法都采用逐步求解的贪心策略.

贪心算法: 通过局部最优解来推出全局最优解.

1.1 Kruskal(克鲁斯卡尔) 算法

给定一个有n个顶点的连通网络N={V,E}

首先构造一个由这n个顶点组成 , 不含任何边的图G={V,NULL}.

其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任选其一) , 若该边的两个顶点来自不同的连通分量 , 则将此边加入到G中.

如此反复 , 直到G中边数达到顶点数-1为止.

核心: 每次迭代时 , 选出权值最小且两端点不在同一连通分量上的边 , 加入生成树.

步骤分析:

1.由于该算法的思想是全局贪心 , 因此将所有图中所有边全部放入优先级队列中.
2.构造一个最小生成树 , 将优先级队列中的边依次加入.
3.为了防止出现环 , 使用并查集判断每次取出的边的顶点是否来自同一个集合 .
4.如果不是同一集合 , 将该边加入最小生成树并用并查集将该边的领接顶点放入同一个集合.

代码示例:

 /**
     * 克鲁斯卡尔算法实现
     * @param minTree
     * @return
     */
    /**
     * 模拟实现一条边
     */
    static class Edge{
        public int srcIndex;
        public int destIndex;
        public int weight;
 
        public Edge(int srcIndex, int destIndex, int weight) {
            this.srcIndex = srcIndex;
            this.destIndex = destIndex;
            this.weight = weight;
        }
    }
 
    public int kruskal(GraphOfMatrix minTree) {
        //1.定义一个优先级队列
        PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<Edge>(new Comparator<Edge>() {
            @Override
            public int compare(Edge o1, Edge o2) {
                return o1.weight - o2.weight;
            }
        });
        int n = arrayV.length;
        //2.遍历领接矩阵,将所有的边都放入优先级队列中
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i < j && Matrix[i][j] != Integer.MIN_VALUE) {
                    minQ.offer(new Edge(i, j, Matrix[i][j]));
                }
            }
        }
        //3.构造并查集将符合要求的边加入到最小生成树中
        UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n);
 
        int size = 0;//记录最小生成树中边的数量
        int totalWeight = 0;//记录权值
        while (size < n - 1 && !minQ.isEmpty()) {
            Edge edge = minQ.poll();
            int srcIndex = edge.srcIndex;
            int destIndex = edge.destIndex;
            //同一边的相邻顶点不能来自同一集合
            if (!ufs.isSameUnionFindSet(srcIndex, destIndex)) {
                //将符合条件的边加入到最小生成树中
                minTree.addEdgeUseIndex(srcIndex, destIndex, Matrix[srcIndex][destIndex]);
                System.out.println("选择的边"+arrayV[srcIndex]+" -> "+arrayV[destIndex]+Matrix[srcIndex][destIndex]);
                size++;
                totalWeight += Matrix[srcIndex][destIndex];
                //将添加过的边的相邻顶点放入同一集合,防止出现环.
                ufs.union(srcIndex, destIndex);
            }
        }
        if (size == n - 1) {
            return totalWeight;
        } else {
            throw new RuntimeException("没有最小生成树");
        }
    }
 
   //按照下标将边加入到最小生成树中
    public void addEdgeUseIndex(int srcIndex,int destIndex,int weight){
        Matrix[srcIndex][destIndex] = weight;
        //如果是无向图邻接矩阵对称位置也要添加
        if (!isDirect){
            Matrix[destIndex][srcIndex] = weight;
        }
    }
    //测试克鲁斯卡尔算法
    public static void main(String[] args) {
        String str = "abcdefghi";
        char[] array =str.toCharArray();
        graph.GraphOfMatrix g = new graph.GraphOfMatrix(str.length(),false);
        g.initArray(array);
        g.addEdge('a', 'b', 4);
        g.addEdge('a', 'h', 8);
//g.addEdge('a', 'h', 9);
        g.addEdge('b', 'c', 8);
        g.addEdge('b', 'h', 11);
        g.addEdge('c', 'i', 2);
        g.addEdge('c', 'f', 4);
        g.addEdge('c', 'd', 7);
        g.addEdge('d', 'f', 14);
        g.addEdge('d', 'e', 9);
        g.addEdge('e', 'f', 10);
        g.addEdge('f', 'g', 2);
        g.addEdge('g', 'h', 1);
        g.addEdge('g', 'i', 6);
        g.addEdge('h', 'i', 7);
        graph.GraphOfMatrix kminTree = new graph.GraphOfMatrix(str.length(),false);
        System.out.println(g.kruskal(kminTree));
        kminTree.printGraph();
    }

构造并查集:

public class UnionFindSet {
    public int[] elem;
 
    public UnionFindSet(int n){
        this.elem = new int[n];
        Arrays.fill(elem,-1);
    }
 
    /**
     * 查找数据x的根节点
     * @param x
     * @return
     */
    public int findRoot(int x){
        if (x < 0){
            throw new RuntimeException("下表不合法");
        }
        while (elem[x] >= 0){
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }
    /**
     * 查询x1和x2是不是同一个集合
     * @param x1
     * @param x2
     * @return
     */
    public boolean isSameUnionFindSet(int x1 , int x2){
        int index1 = findRoot(x1);
        int index2 = findRoot(x2);
        if (index1 == index2){
            return true;
        }
        return false;
    }
 
    /**
     * 这是合并操作
     * @param x1
     * @param x2
     */
    public void union(int x1 , int x2){
        int index1 = findRoot(x1);
        int index2 = findRoot(x2);
        if (index1 == index2) return;
        elem[index1] = elem[index1] + elem[index2];
        elem[index2] = index1;
    }
 
    /**
     * 有几对关系
     * @return
     */
    public int getCount(){
        int count = 0;
        for (int x:elem) {
            if (x < 0){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
    public void Print(){
        for (int x:elem){
            System.out.print(x+" ");
        }
        System.out.println();
    }
}

测试结果:

1.2 Prime(普里姆) 算法

普里姆算法与克鲁斯卡尔算法类似 , 核心区别是普里姆算法采用局部贪心的思想.

首先 , 设定两个集合 , X{}已确定顶点的集合 , Y{}未确定顶点的集合.

其次 , 假设图中的顶点为 a,b,c,d,e,f,g,h,i.放入Y{}中.

然后 , 任取一个顶点放入X{}中 . 在Y{}中选择一个与该顶点相连权值最小的边 , 加入最小生成树中.

如此重复 , 直到最小生成树的边数达到顶点数-1为止.

代码示例:

/**
     * 普里姆算法实现
     * @param minTree
     * @param chV 图中顶点的起点
     * @return
     */
    public int prime(GraphOfMatrix minTree,char chV) {
        int srcIndex = getIndexOfV(chV);
        //存储已确定的顶点
        Set<Integer> setX = new HashSet<>();
        setX.add(srcIndex);
        //初始化未确定的点
        Set<Integer> setY = new HashSet<>();
        int n = arrayV.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i != srcIndex){
                setY.add(i);
            }
        }
        //定义一个优先级队列
        PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {
            @Override
            public int compare(Edge o1, Edge o2) {
                return o1.weight - o2.weight;
            }
        });
        //遍历srcIndex连接出去的边,并放入优先级队列中排序
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (Matrix[srcIndex][i] != Integer.MIN_VALUE){
                minQ.offer(new Edge(srcIndex,i,Matrix[srcIndex][i]));
            }
        }
        int size = 0;
        int totalWeight = 0;
        while (!minQ.isEmpty()){
            Edge min = minQ.poll();
            int srcI = min.srcIndex;
            int destI = min.destIndex;
            if (setX.contains(destI)){
                //此时会构成环
            }else {
                minTree.addEdgeUseIndex(srcI,destI,Matrix[srcI][destI]);
                System.out.println("起点"+arrayV[srcI]+" -> "+"终点"+arrayV[destI]+Matrix[srcI][destI]);
                size++;
                totalWeight+=min.weight;
                if (size == n-1){
                    return totalWeight;
                }
                //更新两个集合
                setX.add(destI);
                setY.remove(destI);
                //把dest连出去的所有边也放到优先级队列中
                for (int i = 0; i < n; i++) {
                    if (Matrix[destI][i] != Integer.MIN_VALUE && !setX.contains(i)){
                        minQ.offer(new Edge(destI,i,Matrix[destI][i]));
                    }
                }
            }
        }
       throw new RuntimeException("没有最小生成树");
    }
    //测试普里姆算法
    public static void main3(String[] args) {
            String str = "abcdefghi";
            char[] array =str.toCharArray();
            GraphOfMatrix g = new GraphOfMatrix(str.length(),false);
            g.initArray(array);
            g.addEdge('a', 'b', 4);
            g.addEdge('a', 'h', 8);
//g.addEdge('a', 'h', 9);
            g.addEdge('b', 'c', 8);
            g.addEdge('b', 'h', 11);
            g.addEdge('c', 'i', 2);
            g.addEdge('c', 'f', 4);
            g.addEdge('c', 'd', 7);
            g.addEdge('d', 'f', 14);
            g.addEdge('d', 'e', 9);
            g.addEdge('e', 'f', 10);
            g.addEdge('f', 'g', 2);
            g.addEdge('g', 'h', 1);
            g.addEdge('g', 'i', 6);
            g.addEdge('h', 'i', 7);
            GraphOfMatrix primTree = new GraphOfMatrix(str.length(),false);
            System.out.println(g.prime(primTree,'a'));
            primTree.printGraph();
    }

总结

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