Java 二叉搜索树
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1.搜索树的概念
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，又称二叉查找树，二叉排序树，它有几个特点：
- 如果左子树存在，则左子树每个结点的值均小于根结点的值。
- 如果右子树存在，则右子树每个结点的值均大于根结点的值。
- 中序遍历二叉搜索树，得到的序列是依次递增的。
- 二叉搜索树的左右子树均为二叉搜索树。
- 二叉搜索树的结点的值不能发生重复。
2.二叉搜索树的简单实现
我们来简单实现以下搜索树，就不使用泛型了，二叉搜索树基本结构：
public class BinarySearchTree {
static class Node {
public int val;
public Node left;
public Node right;
public Node(int val) {
this.val = val;
}
}
public Node root;
//其他方法
}
2.1查找
二叉搜索树最擅长的就是查找，根据二叉搜索树的定义，左子树的元素比根小，右子树的元素比根大，所以我们只需要根据根结点的值与目标元素的值比较，就能实现查找功能。
- 根与目标元素相等，表示找到了。
- 根比目标元素大，去左子树找。
- 根比目标元素小，去右子树找。
- 左右子树找不到，那就找不到了。
参考实现代码：
public Node search(int key) {
Node cur = this.root;
while (cur != null) {
//根与目标元素相等，表示找到了。
if (cur.val == key) return cur;
//根比目标元素大，去左子树找。
else if (cur.val > key) cur = cur.left;
//根比目标元素小，去右子树找。
else cur = cur.right;
}
//此时cur = null, 左右子树找不到，那就找不到了。
return cur;
}
2.2插入
需要在二叉搜索树中插入一个元素，首先得找到一个合适的插入位置，如何找呢？其实就是利用搜索树查找的方式，找到一个空位，如何将目标结点插入到这个位置。
- 根与插入元素相等，插入元素不能与搜索树中的元素相等，插入失败。
- 根比插入元素大，去左子树找。
- 根比插入元素小，去右子树找。
- 找到的结点为空，那这个位置就是我们要找的空位。
由于你找到空位时，无法获取该空位的前一个位置，所以每次查找的时候都需要保存上一次查找的位置。
找到位置后，将目标结点插入到该位置。
参考实现代码：
public boolean insert(int val) {
//结点为空，直接插
if(root == null) {
root = new Node(val);
return true;
}
Node cur = this.root; //当前查找位置
Node parent = null; //查找的上一个位置
while (cur != null) {
parent = cur;
if (val > cur.val) cur = cur.right;
else if (val < cur.val) cur = cur.left;
else return false;
}
//开始插入，找到空位前一个位置，比插入元素小，空位在右边，插入右边
if (val > parent.val) {
parent.right = new Node(val);
} else {
//比插入元素大，空位在左边，插入左边
parent.left = new Node(val);
}
return true;
}
2.3删除
删除是搜索树基本操作中最麻烦的一个操作，需要考虑多种情况。
不妨设需要删除的结点为cur，cur的父结点为parent，搜索树的根结点为root。首先需要删除结点，那就得找到结点，所以第一步是找结点，思路与查找的思路一模一样。
第二步那就是删除了，删除结点大概有下面几种情况：
情况1：cur.left == null
- cur == root，让root = cur.right;
- cur != root且parent.left == cur，让parent.left = cur.right;
- cur != root且parent.right == cur，让parent.right = cur.right。
情况2：cur.right == null
- cur == null，让root = cur.left;
- cur != root且parent.left == cur，让parent.left = cur.left;
- cur != root且parent.right == cur，让parent.right = cur.left。
情况3：cur.left != null && cur.right != null
方案1：找到cur右子树中最小的元素target，然后将该元素的值覆盖到cur处（可以理解为交换），此时等价于删除target处的结点，即该结点的父结点为preTarget。
因为target为cur右子树最小的一个结点，所以target.left == null，此时preTarget.left == target，所以删除时按照上面的情况1去进行删除。
但是还有一种特殊情况，那就是cur.right就是最小结点，此时preTarget==cur，即preTarget.right == target，这时删除时要将 preTarget.right = target.right。
方案2：找到cur左子树中最大的元素target，然后将该元素的值覆盖到cur处（可以理解为交换），此时等价于删除target处的结点，即该结点的父结点为preTarget。
因为target为cur左子树最大的一个结点，所以target.right == null，此时preTarget.right == target，所以删除时按照上面的情况2去进行删除。
但是还有一种特殊情况，那就是cur.left就是左子树最大结点，此时preTarget==cur，即preTarget.left == target，这时删除时要将 preTarget.left = target.left。
参考实现代码：
public void remove(int key) {
Node cur = root;
Node parent = null;
while (cur != null) {
if(cur.val == key) {
//这里开始删除
removeNode(cur,parent);
break;
}else if(cur.val < key) {
parent = cur;
cur = cur.right;
}else {
parent = cur;
cur = cur.left;
}
}
}
removeNode方法（方案1）：
public void removeNode(Node cur,Node parent) {
if(cur.left == null) {
if(cur == root) {
root = cur.right;
}else if(cur == parent.left) {
parent.left = cur.right;
}else {
parent.right = cur.right;
}
}else if(cur.right == null) {
if(cur == root) {
root = cur.left;
}else if(cur == parent.left) {
parent.left = cur.left;
}else {
parent.right = cur.left;
}
}else {
Node preTarget = cur ;
Node target = cur.right;
while (target.left != null) {
preTarget = target;
target = target.left;
}
cur.val = target.val;
if (target == preTarget.left) {
preTarget.left = target.right;
} else {
preTarget.right = target.right;
}
}
}
removeNode方法（方案2）：
public void removeNode(Node cur,Node parent) {
if(cur.left == null) {
if(cur == root) {
root = cur.right;
}else if(cur == parent.left) {
parent.left = cur.right;
}else {
parent.right = cur.right;
}
}else if(cur.right == null) {
if(cur == root) {
root = cur.left;
}else if(cur == parent.left) {
parent.left = cur.left;
}else {
parent.right = cur.left;
}
}else {
Node preTarget = cur ;
Node target = cur.left;
while (target.right != null) {
preTarget = target;
target = target.right;
}
cur.val = target.val;
if (target == preTarget.left) {
preTarget.left = target.left;
} else {
preTarget.right = target.left;
}
}
}
2.4修改
搜索树的修改可以基于删除和插入，先删除目标元素，然后再插入修改元素。
参考实现代码：
public void set(int key, int val) {
remove(key);
insert(val);
}
3.二叉搜索树的性能
在平衡二叉树的情况下（左右子树高度差不超过1），假设有n个结点，此时时间复杂度为二叉树的高度，即 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)，但是这只是例行情况，最不理想的情况就是二叉树化为单分支树，时间复杂为 O ( n ) O(n) O(n)。
为了解决这个问题，后面引申出AVL树，红黑树，其中TreeMap与TreeSet的底层就是红黑树。具体红黑树是什么，这里就不多说了。
本文到底了，你学会了吗？
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