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Java 二叉搜索树

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1.搜索树的概念

二叉搜索树是一种特殊的二叉树,又称二叉查找树,二叉排序树,它有几个特点:

1-1

2.二叉搜索树的简单实现

我们来简单实现以下搜索树,就不使用泛型了,二叉搜索树基本结构:

public class BinarySearchTree {

    static class Node {
        public int val;
        public Node left;
        public Node right;
        public Node(int val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public Node root;
    //其他方法
}

2.1查找

二叉搜索树最擅长的就是查找,根据二叉搜索树的定义,左子树的元素比根小,右子树的元素比根大,所以我们只需要根据根结点的值与目标元素的值比较,就能实现查找功能。

参考实现代码:

    public Node search(int key) {
        Node cur = this.root;
        while (cur != null) {
            //根与目标元素相等,表示找到了。
            if (cur.val == key) return cur;
            //根比目标元素大,去左子树找。
            else if (cur.val > key) cur = cur.left;
            //根比目标元素小,去右子树找。
            else cur = cur.right;
        }
        //此时cur = null, 左右子树找不到,那就找不到了。
        return cur;
    }

2.2插入

需要在二叉搜索树中插入一个元素,首先得找到一个合适的插入位置,如何找呢?其实就是利用搜索树查找的方式,找到一个空位,如何将目标结点插入到这个位置。

2-1

由于你找到空位时,无法获取该空位的前一个位置,所以每次查找的时候都需要保存上一次查找的位置。

找到位置后,将目标结点插入到该位置。

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参考实现代码:

    public boolean insert(int val) {
        //结点为空,直接插
        if(root == null) {
            root = new Node(val);
            return true;
        }
        Node cur = this.root;   //当前查找位置
        Node parent = null;     //查找的上一个位置
        while (cur != null) {
            parent = cur;
            if (val > cur.val) cur = cur.right;
            else if (val < cur.val) cur = cur.left;
            else return false;
        }
        //开始插入,找到空位前一个位置,比插入元素小,空位在右边,插入右边
        if (val > parent.val) {
            parent.right = new Node(val);
        } else {
            //比插入元素大,空位在左边,插入左边
            parent.left = new Node(val);
        }
        return true;
    }

2.3删除

删除是搜索树基本操作中最麻烦的一个操作,需要考虑多种情况。

不妨设需要删除的结点为curcur的父结点为parent,搜索树的根结点为root。首先需要删除结点,那就得找到结点,所以第一步是找结点,思路与查找的思路一模一样。

第二步那就是删除了,删除结点大概有下面几种情况:

情况1:cur.left == null

情况2:cur.right == null

情况3:cur.left != null && cur.right != null

方案1:找到cur右子树中最小的元素target,然后将该元素的值覆盖到cur处(可以理解为交换),此时等价于删除target处的结点,即该结点的父结点为preTarget

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3-2

因为targetcur右子树最小的一个结点,所以target.left == null,此时preTarget.left == target,所以删除时按照上面的情况1去进行删除。

3-2-1

但是还有一种特殊情况,那就是cur.right就是最小结点,此时preTarget==cur,即preTarget.right == target,这时删除时要将 preTarget.right = target.right。

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3-4

3-4--0

方案2:找到cur左子树中最大的元素target,然后将该元素的值覆盖到cur处(可以理解为交换),此时等价于删除target处的结点,即该结点的父结点为preTarget

4-1

因为targetcur左子树最大的一个结点,所以target.right == null,此时preTarget.right == target,所以删除时按照上面的情况2去进行删除。

4-2

但是还有一种特殊情况,那就是cur.left就是左子树最大结点,此时preTarget==cur,即preTarget.left == target,这时删除时要将 preTarget.left = target.left。

4-3

4-4

参考实现代码:

    public void remove(int key) {
        Node cur = root;
        Node parent = null;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                //这里开始删除
                removeNode(cur,parent);
                break;
            }else if(cur.val < key) {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }
        }
    }

removeNode方法(方案1):

    public void removeNode(Node cur,Node parent) {
        if(cur.left == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.right;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.right;
            }else {
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.left;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.left;
            }else {
                parent.right = cur.left;
            }
        }else {
            Node preTarget  = cur ;
            Node target  = cur.right;
            while (target.left != null) {
                preTarget = target;
                target = target.left;
            }
            cur.val = target.val;
            if (target == preTarget.left) {
                preTarget.left = target.right;
            } else {
                preTarget.right = target.right;
            }
        }
    }

removeNode方法(方案2):

    public void removeNode(Node cur,Node parent) {
        if(cur.left == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.right;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.right;
            }else {
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.left;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.left;
            }else {
                parent.right = cur.left;
            }
        }else {
            Node preTarget  = cur ;
            Node target  = cur.left;
            while (target.right != null) {
                preTarget = target;
                target = target.right;
            }
            cur.val = target.val;
            if (target == preTarget.left) {
                preTarget.left = target.left;
            } else {
                preTarget.right = target.left;
            }
        }
    }

2.4修改

搜索树的修改可以基于删除和插入,先删除目标元素,然后再插入修改元素。

参考实现代码:

    public void set(int key, int val) {
        remove(key);
        insert(val);
    }

3.二叉搜索树的性能

在平衡二叉树的情况下(左右子树高度差不超过1),假设有n个结点,此时时间复杂度为二叉树的高度,即 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2​n),但是这只是例行情况,最不理想的情况就是二叉树化为单分支树,时间复杂为 O ( n ) O(n) O(n)。

为了解决这个问题,后面引申出AVL树,红黑树,其中TreeMap与TreeSet的底层就是红黑树。具体红黑树是什么,这里就不多说了。

本文到底了,你学会了吗?

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