C语言 二叉树

树概念及结构

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合
把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

注意：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <=m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

如图：

注意：

• 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
• 除了根节点外，每个节点有且只有一个父节点
• 一棵树N个节点的树有N-1条边

相关概念

如图：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

如图：

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二叉树概念及结构

概念

• 二叉树由一个根节点加上左子树和右子树组成：
• 二叉树度最大为2（度可以为0,1,2）
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒（有序树）（没有左树，一定没有右树；有左树，不一定有右树）

需要注意的特殊二叉树

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树
也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树

完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的（特殊的完全二叉树）
对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树

二叉树的性质

• 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有2^（i-1）个结点
• 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h的二叉树的最大结点数是2^h-1
• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1）（是log以2为底，n+1为对数）

二叉树的存储结构

存储结构类型：

顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组只适合表示完全二叉树（不完全二叉树有空间的浪费）而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储

注：二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

如图：

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。

例：

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

总结

这只是二叉树的基本知识，之后我们还会详细解析二叉数的递归实现和有关题目。