python 算法分析
柳小葱 人气:0前文学习：
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今天我们来学习的内容是面试题中都避免不小了的问题，就是算法分析了，什么是算法分析，算法分析是用来分析一个算法的好坏的，大家完成一件事情写不一样的算法，就需要算法分析来评判算法的好坏，最常见的就是程序的复杂的O(n)。
1.算法分析的定义
有这样一个问题：当两个看上去不同的程序 解决同一个问题时，会有优劣之分么？答案是肯定的。算法分析关心的是基于所使用的计算资源比较算法。我们说甲算法比乙算法好，依据是甲算法有更高的资源利用率或使用更少的资源。从这个角度来看，上面两个函数其实差不多，它们本质上都利用同一个算法解决累加问题。
计算资源究竟指什么？思考这个问题很重要。有两种思考方式。
- 一是考虑算法在解决问题时 要占用的空间或内存。解决方案所需的空间总量一般由问题实例本身决定，但算法往往也会有特定的空间需求。
- 二是根据算法执行所需的时间进行分析和比较。这个指标有时称作算法的执行 时间或运行时间。要 衡 量
sumOfN函数的执行时间，一个方法就是做基准分析。也就是说，我们会记录程序计算出结果所消耗的实际时间。在 Python 中，我们记录下函数就所处系统而言的开始时间和结束时间。time模块中有一个 time 函数，它会以秒为单位返回自指定时间点起到当前的系统时钟时间。在首尾各调用一次这个函数，计算差值，就可以得到以秒为单位的执行时间。
举个例子：我们需要求解前n个数之和，通过计算所需时间来评判效率好坏。(这里使用time函数,并计算5次来看看大致需要多少时间)
第一种方法：循环方案
import time
def sumOfN2(n):
start=time.time()
thesum=0
for i in range(1,n+1):
thesum=thesum+i
end=time.time()
return thesum,end-start
#循环5次
for i in range(5):
print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN2(10000))
结果如下：
第二种方法：公式方法
#直接利用求和公式
def sumOfN3(n):
start=time.time()
thesum=(1+n)*n/2
end=time.time()
return thesum,end-start
for i in range(5):
print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN3(10000))
结果如下：
直觉上，循环方案看上去工作量更大，因为有些步骤重复。这好像是耗时更久的原因。而且，循环方案的耗时会随着 n 一起增长。然而，这里有个问题。如果在另一台计算机上运行这个函数，或用另一种编程语言来实现，很可能会得到不同的结果。如果计算机再旧些，sumOfN3 的执行时间甚至更长。
我们需要更好的方式来描述算法的执行时间。基准测试计算的是执行算法的实际时间。 这不是一个有用的指标，因为它依赖于特定的计算机、程序、时间、编译器与编程语言。我们希 望找到一个独立于程序或计算机的指标。这样的指标在评价算法方面会更有用，可以用来比较不同实现下的算法。
2. 大O记法
这里为了让大家知道一些函数的增长速度，我决定将一些函数的列举出来。
例：计算如下程序的步骤数，和数量级大O
a = 5
b = 6
c = 10
for i in range(n):
for j in range(n):
x = i * i
y = j * j
z = i * j
for k in range(n):
w = a * k + 45
v = b * b
d = 33
这段程序的赋值次数为：
大家可以自己算一下。
3. 不同算法的大O记法
这里我们采用不同的算法实现一个经典的异序词检测问，所谓异序词，就是组成单词的字母一样，只是顺序不同，例如heart和earth，python和typhon。为了简化问题，我们假设要检验的两个单词字符串的长度已经一样长。
3.1 清点法
该方法主要是清点第 1 个字符串的每个字符，看看它们是否都出现在第 2 个字符串中。如果是，那么两个字符串必然是异序词。清点是通过用 Python 中的特殊值 None 取代字符来实现的。但是，因为 Python 中的字符串是不可修改的，所以先要将第 2 个字符串转换成列表。在字符列表中检查第 1 个字符串中的每个字符，如果找到了，就替换掉。
def anagramSolution1(s1, s2):
alist = list(s2)
pos1=0
stillOK = True
while pos1 < len(s1) and stillOK:
pos2 = 0
found = False
while pos2 < len(alist) and not found:
if s1[pos1] == alist[pos2]:
found = True
else:
pos2 = pos2 + 1
if found:
alist[pos2] = None
else:
stillOK = False
pos1 = pos1 + 1
return stillOK
来分析这个算法。注意，对于 s1 中的 n 个字符，检查每一个时都要遍历 s2 中的 n 个字符。 要匹配 s1 中的一个字符，列表中的 n 个位置都要被访问一次。因此，访问次数就成了从 1 到 n 的整数之和。这可以用以下公式来表示。
因此，该方法的时间复杂度是
3.2 排序法
尽管 s1 与 s2 是不同的字符串，但只要由相同的字符构成，它们就是异序词。基于这一点， 可以采用另一个方案。如果按照字母表顺序给字符排序，异序词得到的结果将是同一个字符串。
def anagramSolution2(s1, s2):
alist1 = list(s1)
alist2 = list(s2)
alist1.sort()
alist2.sort()
pos=0
matches = True
while pos < len(s1) and matches:
if alist1[pos] == alist2[pos]:
pos = pos + 1
else:
matches = False
return matches
乍看之下，你可能会认为这个算法的时间复杂度是O ( n ) O(n)O(n)，因为在排序之后只需要遍历一次就可以比较 n 个字符。但是，调用两次 sort 方法不是没有代价。我们在后面会看到，排序的时 间复杂度基本上是O ( n 2 ) O(n2 )O(n2)或 O ( n l o g n ) O(nlogn)O(nlogn) ，所以排序操作起主导作用。也就是说，该算法和排序过程的数量级相同。
3.3 蛮力法
用蛮力解决问题的方法基本上就是穷尽所有的可能。就异序词检测问题而言，可以用 s1 中 的字符生成所有可能的字符串，看看 s2 是否在其中。但这个方法有个难处。用 s1 中的字符生 成所有可能的字符串时，第 1 个字符有 n 种可能，第 2 个字符有 n-1 种可能，第 3 个字符有 n-2 种可能，依此类推。字符串的总数是n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ . . . . . . ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 n*(n-1)*(n-2)*......*3*2*1n∗(n−1)∗(n−2)∗......∗3∗2∗1,即为n ! n!n!也许有些字符串会重复，但程序无法预见，所以肯定会生成n ! n!n!个字符串。
当 n 较大时， n! 增长得比2n还要快。实际上，如果 s1 有20个字符，那么字符串的个数就 是 20!= 2432902008176640000 。假设每秒处理一个，处理完整个列表要花 77146816596 年。 这可不是个好方案。
3.4 计数法
最后一个方案基于这样一个事实:两个异序词有同样数目的 a、同样数目的 b、同样数目的 c，等等。要判断两个字符串是否为异序词，先数一下每个字符出现的次数。因为字符可能有 26 种，所以使用 26 个计数器，对应每个字符。每遇到一个字符，就将对应的计数器加 1。最后， 如果两个计数器列表相同，那么两个字符串肯定是异序词。
def anagramSolution4(s1, s2):
c1=[0]*26
c2=[0]*26
for i in range(len(s1)):
pos = ord(s1[i]) - ord('a')
c1[pos] = c1[pos] + 1
for i in range(len(s2)):
pos = ord(s2[i]) - ord('a')
c2[pos] = c2[pos] + 1
j=0
stillOK = True
while j < 26 and stillOK:
if c1[j] == c2[j]:
j=j+1
else:
stillOK = False
return stillOK
这个方案也有循环。但不同于方案 1，这个方案的循环没有嵌套。前两个计数循环都是 n 阶 的。第 3 个循环比较两个列表，由于可能有 26 种字符，因此会循环 26 次。全部加起来，得到总步骤数 T (n) =2n - 26 ，即 O(n) 。我们找到了解决异序词检测问题的线性阶算法。
4. 列表和字典操作的复杂度
4.1 列表
4.2 字典
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