汉明码编码及校验

1.奇偶校验

我们约定一串编码里1的个数是偶数个，那么这串编码里携带的信息就是对的，否则就是错的。我们可以在开头对这串编码加一位校验码实现奇偶校验。

例子：

我们想传输10010这串码，那么在传输的时候，就传010010，其中在开头的0就是校验位。
我们想传输10000这串码，那么在传输的时候，就传110000，其中在开头的1就是校验位。
两个例子的1的个数都是偶数。

2.汉明码

首先汉明码是采用奇偶校验的码。它采用了一种非常巧妙的方式，把这串数字分了组，通过分组校验来确定哪一位出现了错误。并且能对错误的位置进行改正

注意：

汉明码默认一串数据只错一位

汉明码怎么分组：

我们看到，其实有些数据是既在P1组又在P2组的。怎么分组，这个要记住，没啥原理了哈哈。要预先做的工作是，把表示位置的这个数，转化成二进制数，也就是:

第1个位置，变成第0001个位置；

第2个位置，变成第0010个位置；

第3个位置，变成第0011个位置；

第4个位置，变成第0100个位置；

第5个位置，变成第0101个位置；

第6个位置，变成第0110个位置；

那么，规定来了，

凡是位置符合这种形式的，XXX1，归到P1；

凡是位置符合这种形式的，XX1X，归到P2；

凡是位置符合这种形式的，X1XX，归到P3；

凡是位置符合这种形式的，1XXX，归到P4；

那么显然各个校验码也被分到各个组里面去了，而且，每个组只有一个校验码。

我举个例子：

我们想传这一组码：XX1X101X011

一共11位。

标X的是校验码的位置，我们暂时不知道它的值是多少。

位置在1,3,5,7,9,11的数据进到P1组。（你转换一下这些位置的二进制，就知道他们的位置符合XXX1）

位置在2,3,6,7,10,11的数据进到P2组。（位置符合XX1X）

位置在4,5,6,7的数据进到P3组。（位置符合X1XX）

位置在8,9,10,11的数据进到P4组。（位置符合1XXX）

那么确定了分组，校验码的值也就顺便确定下来了。

这样整个串的码就确定下来了。

校验码的位置：

这是规定，记住它，在采用汉明码的一串数据中，2的i次方的位置上，我们放校验码。

校验码是1，或者是0，使得校验码所在的组的1的个数是偶数。

如图：

绿色的位置是放校验码的地方，1,2,4,8,16……等等，2的i次方的地方。

校验码其实是每一个分组特有的，每个分组特有的也就只有校验码

从发送者的角度，我该怎么发用上汉明码的数据呢：

首先我们考虑我们到底要发多少位。假设校验码一共k位，我们想发的原始数据一共n位，要注意我们的校验码也要校验校验码错没错，所以，要校验的一共有k+n位，k位校验码可以检测2^k位的码，但是不能所以，校验码的位数要满足这个公式

2 k > k + n 2^k>k+n 2k>k+n,或者说 2 k − 1 ≥ k + n 2^{k}-1 \geq k+n 2k−1≥k+n

这样我们就能算出来要用多少校验码了。

其实哈，实际上不用这么麻烦，教科书总是那么复杂。假设你想发101011111，那你就先占下校验位，然后空着的位填你想发的数据就好。

占下1,2,4,8……等等位，看能占下多少位就可以，当然这个手算比较直观啦哈。

好，我假设你填完了，然后分好组，也确定了校验位的值了，那么发送出去啦~

我是接收者，我收到了一串汉明码，怎样用汉明码的性质来检错呢：

1.分组，分好P1，P2，P3……

2.分别对每个组校验，没有错的给它0，有错的给1.

3.记得第一个问题，汉明码的原理吗？你可能会想，3个组，我们可以画3个圈，可是100个组，这个圈可就太难画了啊！

这里有一个等价的方法，hamming真的太聪明了。

把P从大到小排列起来，得到一串1010，

for example:

     组别：         P5   P4   P3   P2   P1

     标志：         1    0     1    0    1

从大到小排列起来，标志排成了一串一零串。这个数就是出错的数据的位置。

本例中，10101位置上的位错了，换成十进制是第21个位置上的数错了。

然后，我们发现了它错误的位置，又因为它是二进制的，不是0就是1，所以，可以顺便把它纠错。