[斯坦福大学2014机器学习教程笔记]第五章-矢量

    在这节中，我们将学习有关向量化的内容。无论你是用Ocatve，还是别的语言，比如MATLAB或者你正在用Python、NumPy 或Java、C、C++，所有这些语言都具有内置的，容易阅读和获取的各种线性代数库，它们通常写得很好，已经经过高度优化，通常是数值计算方面的博士或者专业人士开发的。而当你实现机器学习算法时，如果你能好好利用这些线性代数库，或者数值线性代数库，并联合调用它们，而不是自己去做那些函数库可以做的事情。如果是这样的话，那么通常你会发现：首先，这样更有效，也就是说运行速度更快，并且更好地利用你的计算机里可能有的一些并行硬件系统等等；其次，这也意味着你可以用更少的代码来实现你需要的功能。因此，实现的方式更简单，出错的可能性也就越小。举个具体的例子：与其自己写代码做矩阵乘法。如果你只在Octave中输入a乘以b，它会利用一个非常有效的做法，计算两个矩阵相乘。有很多例子可以说明，如果你用合适的向量化方法来实现，你的代码就会简单得多，也有效得多。

    让我们来看一些例子：这是一个常见的线性回归假设函数：h_θ(x) = Σθ_jx_j。如果你想要计算h_θ(x)，注意到右边是求和，那么你可以自己计算 j=0 到 j=n 的和。但换另一种方式来想想，把h_θ(x)看作θ^TX，那么你就可以写成两个向量的内积，其中θ就是θ₀，θ₁，θ₂。如果你有两个特征量，如果n=2，并且如果你把x看作x₀、x₁、x₂，这两种思考角度，会给你两种不同的实现方式。

    下面是未向量化的代码。未向量化的意思是没有向量化。

    首先，我们初始化变量prediction的值为0.0，而这个变量prediction的最终结果就是h_θ(x)，然后我要用一个for 循环，j 从1取值到n+1，变量prediction每次就通过自身加上θ_jx_j的值，这个就是算法的代码实现。顺便我要提醒一下，之前的向量我用的下标是0，所以我有θ₀，θ₁，θ₂，但因为MATLAB的下标从1开始，在MATLAB 中θ₀可能会用θ₁ 来表示，这些元素最后就会变成θ₁，θ₂，θ₃表示，因为MATLAB中的下标从1开始，这就是为什么这里我的for循环，j从1取值到n+1，而不是从0取值到n。这是一个未向量化的代码实现方式，我们用一个for循环对n个元素进行加和。

    作为比较，接下来是向量化的代码实现：

    你把x和θ看作向量，而你只需要令变量prediction等于θ^TX，你就可以这样计算。与其写所有这些for循环的代码，你只需要一行代码，这行代码就是利用Octave 的高度优化的数值线性代数算法来计算x和θ这两个向量的内积，这样会使代码更简单，运行起来也将更加高效。这就是Octave 所做的而向量化的方法，在其他编程语言中同样可以实现。

    让我们来看一个C++ 的例子：

    这是未向量化的代码。同样地，也是先初始化一个变量，然后再利用for循环。

    下面是向量化的代码实现：

    与此相反，使用较好的C++数值线性代数库，你可以写出像这样的代码，因此取决于你的数值线性代数库的内容。你或许有个C++对象：向量θ和一个C++对象：向量x。你只需要在C++中将两个向量相乘。根据你所使用的数值和线性代数库的使用细节的不同，你最终使用的代码表达方式可能会有些许不同，但是通过一个库来计算内积，你可以得到一段更简单、更有效的代码。
    现在，让我们来看一个更为复杂的例子，这是线性回归算法梯度下降的更新规则：     我只是用θ₀，θ₁，θ₂来写方程，假设我们有两个特征量，所以n=2，这些都是我们需要对θ₀，θ₁，θ₂来进行更新，这些都应该是同步更新。    

    实现这三个方程的方法就是使用一个for循环，让 j 等于0、1、2来更新对象θ_j。

    但让我们用向量化的方式来实现，看看我们是否能够有一个更简单的方法，看看能不能一次实现这三个方程。让我们来看看怎样能压缩成一行向量化的代码来实现。思路如下：我打算把θ看做一个向量，然后我用θ-α 乘以某个别的向量δ 来更新θ。这里的δ等于(1/m)Σ(h_θ(xⁱ)-yⁱ)xⁱ。

    让我解释一下是怎么回事：我要把θ看做一个n+1维向量，α是一个实数，δ是一个向量。

    所以这个减法运算是一个向量减法，因为αδ是一个向量，所以θ更新为θ-αδ。那么向量δ是什么呢？

    其实δ代表的就是红框框起来的内容。具体地说，δ是一个n+1维向量。向量δ的第一个元素就等于绿框框起来的内容。

    认真看一下计算δ的正确方式。

    前面是一个实数，后面是一个n+1维向量。然后再求和。

    实际上，如果你要解下面这个方程，我们为了向量化这段代码，我们会令u = 2v +5w因此，我们说向量u等于2乘以向量v加上5乘以向量w。

    用这个例子说明，如何对不同的向量进行相加，这里的求和是同样的道理。在这个求和公式中，只是一个实数乘以一个向量x¹，就像上面的2乘以向量v。然后再加上实数乘以一个向量x²，就像上面的5乘以向量w。以此类推，再加上许多项实数乘以向量。这就是为什么这一整个是一个向量δ的原因。具体而言，如果n=2，那么δ就由三项相加而组成。这就是为什么根据θ-αδ更新θ的时候可以实现同步更新。

    这就是为什么我们能够向量化地实现线性回归。所以，保证你确实能理解上面的步骤。如果你实在不能理解它们数学上等价的原因，你就直接实现这个算法，也是能得到正确答案的，你仍然能实现线性回归算法。如果你能弄清楚为什么这两个步骤是等价的，那我希望你可以对向量化有一个更好的理解。   

    如果你在实现线性回归的时候，使用一个或两个以上的特征量。有时我们使用几十或几百个特征量来计算线性回归，当你使用向量化地实现线性回归时，通常运行速度就会比你以前用你的for循环快的多。因此使用向量化实现方式，你应该是能够得到一个高效得多的线性回归算法。而当你向量化我们将在之后的课程里面学到的算法，这会是一个很好的技巧，无论是对于Octave 或者一些其他的语言，如C++、Java 来让你的代码运行得更高效。

最后附上有中文字幕视频的链接：https://www.bilibili.com/video/BV164411b7dx/?p=31