数的机器码表示——彻底弄清什么是原码、反码、补码、移码

## 数的机器码表示 @[toc] 为了妥善的处理数据运算过程中符号位的问题，于是就产生了**把符号位和数值位一起编码**起来**表示相应的数**的各种表示方法。例如我们熟悉的原码、反码、补码、移码等。通常将未经**编码的数称为真值**，编码后的数称为**机器数或者机器码**。 - **真值的形式**：**正、负号加某进制数绝对值的形式**，即**数的实际值**。如`+3`，`-5`等 - **机器数的形式**：真值按某种编码方式进行编码后的数值，即**真值在机器中的表示**，称为机器数，一般可以分为 **无符号数和有符号数**两种如：**X=01011** ，**Y=11011** ### 原码 #### 定点整数 若定点整数的原码形式位$x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0$,其中$x_n$为符号位，则原码表示的定义为： $$ x_{[原]}=\left\{\begin{matrix} x & 0 \leqslant x<2^n \\ 2^n-x=2^n+|x| & -2^n0000 - -0 - 1000-->1111 #### 定点小数 假设定点小数的反码形式为$x_s.x_1x_2...x_n$(**实际上小数点是不存储的**),其中$x_s$代表符号位。则反码的定义为： $$ x_{[反]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<1 \\ 2-2^{-n}+x=2-2^{-n}-|x| & -1 我们既可以顺时针调也可以逆时针调。也就是说我们$5-2$和$5+10$的效果是一样的。 而把这种思想引入到计算机中，不就可以把减法转为加法了吗？ $$ 5-2=5+10（MOD 12） \\5+（-2）=5+10（MOD 12）\\ -2=10（MOD 12） $$ 在上面的式子中，在**模为12的情况下，-2的补码就是10**。一个负 数用其补码代替，同样可以得到正确的运算结果。 那什么是**模**呢？ > 计算机中运算器、寄存器、计数器都有一定的位数，不可能容纳无限大的任意数。当运算结果超出实际的最大表示范围， 就会发生溢出，此时所产生的**溢出量**就是**模（module）** 可以把模定义为一个**计量器的容量**。 如一个**八位计数器**，`0000 0000~1111 1111`,它表示的范围就是`[0,255]`。当计数器表示为`1111 1111` 时，如果**计数器再加一**，那么此计数器就会溢出。计数器上的数值会变成**0000 0000**.而此计数器的溢出量就是**256**. 假设此计数器表示一个定点小数，它表示的范围就是[0,2-$2^{-8}$]。当表示最大的时候，计数器值为**1.111 1111**当**计数器加一**的时候，那么计数器就会清零，变为**0.0000000**。那么此此定点小数的溢出量就是**2**. 从上面我们可以推导出，一个`n+1`位定点整数$x_n x_{(n-1)} ... x_2 x_1 x_0$，它的溢出量为$2^{n+1}$，所以模为$2^{n+1}$。 任意一个定点小数$x_s.x_1x_2...x_n$,它的溢出量是2，所以模为2。 而**在计算机中**，机器能表示的**数据位数是固定**的， 其**运算都是有模运算**。若运算结果**超出**了计算机所能表示的数值范围， 则只**保留它的小于模的低n+1位**的数值，**超过n+1 位**的高位部分就**自动舍弃**了。 下面我们来引入**补码的定义**： #### 定点整数 定点整数的补码形式为$x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0$,其中$x_n$为符号位，补码表示的定义为： $$ x_{[补]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<2^n \\ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x| & -2^n \leqslant x\leqslant0\end{matrix}\right. $$ 在上式中，**x代表的是真值**。 例如，$x=+7$,化为二进制表示为$x=+0111$;$x_{[补]}=0111$。 $x=-7$,化为二进制表示为$x=-0111$;$x_{[补]}=2^4+(-0111)=10000-0111=1001$。 我们可以总结出来： - 对于正数$x=+x_{n-1}...x_1x_0$,它的补码是它自己本身，常常在最高位前面补0，代表它是一个正数。 - $x_{[补]}=0_nx_{n-1}...x_1x_0$ - 对于0，根据补码的定义： - $+0=+0_{n-1}...0_10_0$ - 此时正0的补码为$+0_{[补]}=0_n0_{n-1}...0_10_0$ - $-0=-0_{n-1}...0_10_0$ - 此时负0的补码为$-0_{[补]}=（10_n0_{n-1}...0_10_0-0_{n-1}...0_20_10_1）mod(10_n0_{n-1}...0_10_0)=0_n0_{n-1}...0_10_0$ 由此可见，**零的补码是唯一的**，没有+0和-0之分。 - 对于负数$x=-x_{n-1}...x_1x_0$ ​ 常常可以通过把**数值位按位取反**，然后**末位加一来计算负数的补码**。 - 如求$-127$的补码 - $[-0111 1111]_{[补]}=10000 0000-01111111 $ - $10000000=11111111+1$ - $[-0111 1111]_{[补]}=11111111-01111111+1$，这一步刚刚说明了上面的计算方法的原理。 $-128$的补码的求法。 - -128=-1000 0000 - $[-10000000]_{[补]}=11111111-10000000+1=10000000$ 其实还有一个更为渐变的补码的求法：**从右到左遇到第一个 1 的前面各位取反。**也就是从右向左，遇到1之前，还保持原样。遇到1之后，各位取反。以-126为例：$-126=-01111110$ [-01111110]的补码位**100000**10，10是不变的。而黑体部分则是取反的。 对于补码的取值范围，10000000-11111111——- $-128$~$-1$ 00000000~011111111 ——0~127 推广到n位数，则**补码的范围**就是[$-2^{n-1},2^{n-1}-1$] #### 定点小数 定点小数的补码形式为$x_s.x_1x_2...x_n$(**实际上小数点是不存储的**),其中$x_s$代表符号位。则补码的定义为： $$ x_{[原]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<1 \\ 2+x=2-|x| & -1\leqslant x\leqslant0\end{matrix}\right. $$ 在上式中，x代表的是真值。 例如，$x=+0.875$,化为二进制表示为$x=+0.111$;$x_{[补]}=0.111$。 $x=-0.875$二进制表示为$x=-0.111$;$x_{[补]}=10.000-(0.111)=1.001$。 我们可以总结出来： - 对于正数$x=+0.x_{n-1}...x_1x_0$,它的补码是它自己本身，常常在最高位前面补0，代表它是一个正数。(注意，**前面的0.实际上是不存储的**，也就是实际最高位是$x_{n-1}$) - $x_{[原]}=0.x_{n-1}...x_1x_0$ - 对于0，根据补码的定义： - $+0=+0.0_{n-1}...0_10_0$ - 此时正0的补码为$+0_{[补]}=0.0_{n-1}...0_10_0$ - $-0=-0.0_{n-1}...0_10_0$ - 此时负0的补码为$-0_{[补]}=（10.0_{n-1}...0_10_0-0.0_{n-1}...0_10_0）mod(10.0_{n-1}...0_10_0)=0.0_{n-1}...0_10_0$ 也就是说**，0的补码是唯一的**。 - 对于负数 按位取反，末位加一，和定点整数一样。虽然我们看起来有一个小数点，但是实际上小数点是不存储的。 定点小数的补码的范围，0000~0111--> [0,0.875] 1000~1111--> [-1,-0.125] 扩展到n位补码 我们很容易求出它的范围$[-1,1-2^{-（n-1）}] $ #### 补码的运算 假设一个二进制整数补码有n+1位，$x_nx_{n-1}...x_2x_1x_0$,则补码与真值的对应关系可以这么表示： $X_{真值}=-2^n\times x_n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ 当该数为正整数的时候，$x_n$位变为0，$0x_{n-1}...x_2x_1x_0$, $X_{真值}=\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ 当该数为负整数的时候，$x_n$位变为1，$1 x_{n-1}...x_2x_1x_0$, $X_{真值}=-2^n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ - 以-127为例，-127=-01111111 - 它的补码为10000001 - 从补码求真值的过程:-10000000+1=-01111111-1+1=-01111111 上面我们说到过，计算机中用原码进行加减运算是十分麻烦的，那么我们来看一下用补码来运算。 $126-127=0$ - 原码 - $01111110-01111111$ - 我们需要比较数值位的绝对值大小，来决定符号位，1 - 1111111-1111110=0000001 - 10000001 假设把减法看成加法 - 01111110+（-01111111）=01111110+11111111=**1**00000001 - 1会溢出，那么得到的结果就是00000001，按原码表示的化，真值为1，显然是错误的。 - 补码 - 01111110+10000001=11111111 - 转换为真值后为-1。正确的 - 原理是这样的 - 126-127=-1 - 126+(-127)=-1 - 126+129mod256=-1 - 这里-127等效于129mod256 由此，我们可以看出，补码实际上是**可以直接带符号位运算的运算**的。 求相反数的补码：**由[X]补求[-X]补** **带符号位一起取反，然后末位加一** 如求我们**已知+127的补码求-127的补码**： - 01111111 - 10000001 ### 移码 移码通常用于表示浮点数的阶码。由于阶码是k位的整数，假设定点整数移码形式为$e_ke_{k-1}...e_2e_1e_0$最高位为符号位是。移码的传统定义是： $[e]_移=2^k+e$ 上式中，e为真值，$2^k$为固定的偏移值常数。 **与[x]补的区别：符号位相反** | 真值 | 补码 | 移码 | | ---- | ------ | ------- | | -8 | 1000 | 0000 | | -7 | 1001 | 0001 | | -6 | 1002 | 0002 | | …… | ...... | ...... | | 0 | 0000 | 1000 | | +1 | 0001 | 1001 | | …… | ...... | ....... | | +7 | 0111 | 1111 | #### 移码的表示 移码表示的机器数为数的真值在数轴上向右平移了 固定的偏移值。 如八位移码：  #### 移码的特点 - 在移码中，最高位为0表示负数，最高位为1表示正数，这与**原 码、补码、反码的符号位取值正好相反**。 - 移码为全0时所对应的真值最小，为全1时所对应的真值最大！ 因此，**移码的大小直观地反映了真值的大小，这将有助于两个 浮点数进行阶码大小比较**。 - 真值0在移码中的表示形式是**唯一**的，即：**[+0]移= [0]移= 100…00** - 移码**把真值映射到一个正数域**，所以可将移码视为无符号数， 直接按无符号数规则比较大小。 - 同一数值的移码和补码除最高位相反外，其他各位相同。 ### 原码、反码、补码、移码 取值范围的一个比较