量子计算机编程(二)——QPU基础函数

第二部分主要是QPU的基础功能，第一部分就像是我们有了哪些基本的语句，第二部分就是我们能写一些简单基础的函数，一些小模块，第三部分就是他的应用了。 先来看一下一个简单量子应用的结构：  第一步，将量子态通过H门变成叠加态，很多应用的第一步都是H门，因为量子的叠加态正是她的优越性所在，所谓n个qubit可以表达 $2^n$ 种状态， $2^n$ 种可能性同时并行，这是叠加态带来的好处，要是一直使用基态，经典的不香吗？还便宜，量子的还需要在靠近绝对零度的温度下进行。 第二步，在叠加态中运算。 第三步，相位操作，叠加态中运算的结果当然也是叠加态的，但我们要获取，只能获取经典的信息，直接读的话，那他就是随机坍缩，信息丢失，当然你要是打算重复多次也行，但是有的时候，我们想要的并不是这个态的全部信息，我们可能需要的仅仅是他的一些特征，可能是一个序列的周期，我并不需要这个序列具体是什么，如此的话，可能一些相位变化操作就可以直接读取你想要的信息，这样更为方便。所以量子算法的设计，不仅仅要考虑量子怎么加速，还要考虑量子加速完了的结果能不能读出来。 第四步，读取。 ### 量子算数逻辑 在量子之前，我们有经典算数和经典的数字逻辑，那么量子和经典有什么区别呢： - **没有copy** ，量子的信息不能复制，如果我们要把一个信息传给另一个，我们只能swap交换一下，或者我们还可以teleportation，总之，我们只能交换，不能赋值，具体一点来说，以前我们写程序的里面的赋值“=”是没有的。 - **可逆**，除了测量，QPU上的所有操作都是可逆的。  说到逻辑，我们已经还记得数字逻辑里面学的全加器吧，c=a+b之类的操作，这个简单的加法后面是一堆的与或非门的结构，量子的也同样如此，结构也都差不多，不同之处就两点： $|a\rangle|b\rangle$ 的进去 $|a+b\rangle|b\rangle$ 的出来，因为量子要求可逆，他不会把a、b变成c，一旦合成了c，那就分不出a、b了，当然，你也可以 $|a\rangle|b\rangle|0\rangle$ 的进去 $|a\rangle|b\rangle|a+b\rangle$，这样也是可以的；第二点就是叠加，这里的a、b不再是某个具体的数，而是一个叠加态。 如果是负数，那怎么表达呢？ 和经典一样，我们可以负数的话，首位变成1。就像 000-0 001-1 002-2 003-3 100-(-4) 101-(-3) 110-(-2) 111-(-1)，非常熟悉的配方的了。 关于条件判断呢，给大家看一个例子：  这是是如果a>3那么b就自增，如果没有，那就不用了，3不是很好的判断标准，但是0是啊，小于他的负数，直接首位编码就是1，所以，可以先-3，判断完了，增加好了，在把3加回来，办法总比问题多。 以上是量子和经典较为相似的部分，但是除此之外，量子还有新的特性，比如说：相位，接下来的篇幅都是属于他的。 ### 振幅放大 Amplitude Amplification 我们先来说说振幅放大是什么：   你觉得 Figure 6-1中的ABC三个qubit一样吗？不一样，直接看图很显然的不一样，虽然大家都是等概率的叠加态，但是他们相对相位180°的地方不一样。可是直接读，能读出来吗？即使我重复很多遍，但是他们的概率是一样的，no difference。但是，看图 Figure 6-3，就是可读的不一样了，振幅放大（AA）就是把他们从图6-1变成图6-3的方法。 现在我们已经只要了what和why了，接下来就是怎么进行how。 我们先来看一个单独的AA：  前面三步，也就是在4个H门之前是将这个叠加态中的某一个态给翻转他的相位，使他于其他态不同，接下来的几个步骤是把这个态的概率放大，至于问什么能放大，可以来看这篇　[量子搜索算法 Grover search](https://www.cnblogs.com/zmzzzz/p/11369637.html)　这篇文章里主要是矩阵的角度，现在这个正好是一个具体的表现。 一次AA结束后，我们又回到了最初的相位，除了，我们翻转相位的那个态的振幅变大了，如果我们想要他继续变大，那么我们就继续AA，每一个AA都要包括将相位翻转的步骤。 你可能会疑惑，既然我们都知道要翻转哪一个态了，那为什么要费这么大的力气，这里，我们的翻转非常简单，就是找到这个态，然后翻转，上图就是两个not操作，但是在实际操作中，这可能是是一系列计算的结果。 AA一次就放大一些，再AA就再放大，那么是不是越多，就越能无线逼近１呢？  https://oreilly-qc.github.io/?p=6-2这是上面这个的实验，大家可以变换代码里面的 number_of_iterations，来验证一下刚刚的猜测，其实看图也能发现，$B_4$的概率是小于$B_3$的，why，事实上，这个概率大小是一个类似三角函数的存在：  那么如何找到自己最合适的迭代次数呢？ 书上给了一个未经过证明的公式Optimal number of iterations in amplitude amplification $$ N_{A A}=\left\lfloor\frac{\pi \sqrt{2^{n}}}{4}\right\rfloor $$ 这本书是一本是实践为主的书籍，他还考虑了另一个问题，如果在这个里面我不仅仅要翻转一个态，我要翻转的是两个、三个又会怎么样呢？ https://oreilly-qc.github.io/?p=6-3 同样给大家一个连接，大家可以改变**n2f**这个数组的大小，和每次的迭代次数，看一看结果会有什么变化，当然这么做有些麻烦，也可以看下面的图，分别是4个qubit的情况下翻转2、3、7、8个态的效果长什么样，这里我就直接公布答案，随着翻转的态越来越大，这我们的这个三角函数的周期会越来越小。     那么现在的最佳迭代次数又是多少呢？m是翻转的个数。 $$ N_{A A}=\left\lfloor\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{2^{n}}{m}}\right\rfloor $$ 这里，我们再总结一下AA的意义，他把**不可读的相位信息**变成了**可读的振幅信息**。 ### 量子傅里叶变换 提出一个技术，必定是为了解决一个问题，这里我们要解决的问题就是周期：  对于ABC这三个态，振幅放大也并不能很好的将他们区分，但是量子傅里叶变换（QFT）可以，他能够把上面这三个态变成下面这样：  A里面的有八个这样的周期，B里面有四个这样的周期，而C里面只有2个这样的周期，通过他们周期个数的不一样就可以轻而易举的把这三个态分辨出来。 量子傅里叶变换是一个封装好了的函数，直接调用.QFT就可以了。 ``` var num_qubits = 4; qc.reset(num_qubits); var signal = qint.new(num_qubits, 'signal') // prepare the signal制备量子态C qc.label('prep'); signal.write(0); signal.hadamard(); signal.phase(45, 1); signal.phase(90, 2); signal.phase(180, 4); // Run the QFT直接调用 qc.label('QFT'); signal.QFT() ```  为什么这样就可以找到她的周期了呢？[量子傅里叶变换](https://www.cnblogs.com/zmzzzz/p/11266656.html) 不过，QFT不是每次都能像现在这样获得这么好的结果的，像经典的傅里叶变换会有mirror-image，如下：  量子傅里叶也可能会有这种结果，我们同样也是取前面的一半：  选择量子傅里叶的好处在于，他很快，比快速傅里叶都还要快，他们的速度比值是这样的：  量子处理器的内部结构长这个样子：  ### 量子相位估计 这个关注的对象是量子操作的信息而不是量子寄存器的信息，每一个量子操作都可以用一个酉矩阵表示，而每一个量子态也可以用一个向量来表示，如果一个操作作用的量子态正好是他的特征向量会怎么样？  每一个操作都有自己的eigenstate和对应的eigenphase  所以相位估计究竟是做什么的呢？ 假设我有一个操作U，以及操作的特征态$u_1,u_2,u_3,...$，量子相位估计可以测出这些特征态所对应的特征相位。  一个简单例子，cont_u是我们输入的操作，红框里，是这个操作的特征态，输出结果是8，这里有4个qubit,最大的输出结果可以是16，那么他对应的量子相位是：（8/16）*360°=180°，qubit的增加可以增加数据的精度，如果我们有最大误差要求，那么可以通过下面这个公式知道我们最小需要多少个量子比特： $$m=p+\lceil \log \left(2+\frac{1}{\epsilon}\right)\rceil$$ 调用这个函数非常简单：qin是特征向量，cout_u是操作，qout就是我们的结果，她的位数取决于我们需要的精度。 ``` // Operate phase estimation primitive on registers phase_est(qin, qout, cont_u); // Read output register qout.read(); ``` 那么这个里面的操作又是长什么样子呢？  虽然看起来是上面在控制下面，但是仔细想一想 $-|0\rangle|1\rangle$你能分清楚这个负号是0还是1的吗？，相位信息就这样在qout里累加，最后一个逆傅里叶变换得到我们的结果。