【DirectX 11学习笔记】世界矩阵的理解-运动合成

最近在看龙书，写一下自己的学习理解，主要是物体运动合成的。

物体于局部坐标系内构建，每个物体拥有自己的局部坐标系以及相应的顶点矩阵A，并通过世界矩阵变换到唯一的世界坐标系。

物体在某时刻发生了位移和旋转，以小车运动举个例子，车在 dt 时间内沿着朝向 r 产生了位移 s ，并改变了朝向，旋转了 θ 度。

这里有两种方式合成物体的最终状态：

（1）先位移 r ，在终点位置上，旋转 θ 角度，故当前时刻渲染的图像 Ar = T * R，其中T是位移矩阵，R是在终点位置的绕轴旋转矩阵。

考虑时间上的累积，Ar = A * (T1*R1)*(T2*R2)*...*(Tk*Rk)*...*(Tn*Rn)，其中 k = 1, 2, ..., n 表示每个时间片，Rk是在当前位置上的绕Y轴的旋转矩阵（转向嘛，我们认为极短的时间内上一时刻的转向后的方向就是下一时刻位移的方向）。

 

（2）先绕原点旋转 θ 角度，再位移到目标位置处，故当前时刻渲染的图像 Ar = R' * T，其中T是位移矩阵，R'是在局部坐标系内的旋转矩阵，也就是绕原点。

考虑时间上的累积，Ar = A * (R1*R2*...*Rk*...*Rn)*(T1*T2*...Tk*...*Tn)，其中 k = 1, 2, ..., n 表示每个时间片，Rk是在原点绕Y轴的旋转矩阵。

 

* 解释一下为什么是绕原点旋转：

（1）A是在局部坐标系内构建的，一旦构建之后，位置关系就确定了（刚体），推入到GPU显存中的顶点坐标就确定了，在显存中自始至终都没有变过；

（2）在没有进行任何旋转和位移操作时，局部坐标系实际是和世界坐标系是重合的，此时的A在局部坐标系内的位置，其实也是在世界坐标系内的位置，A*W之后，物体发生了运动，也就是局部坐标系相对相对世界坐标系发生了运动（缩放、旋转、位移）；

（3）物体的最终状态都可以认为是初始状态A经过一系列时间上的累积变化而形成的，物体最终的缩放、旋转、位移状态，都可以是在原点（也就是位移没有发生）发生缩放和旋转，再移动到相应的位置（产生位移）。这和先产生位移，在位移后的位置上再缩放和旋转是一样的。

 

由于DirectXMath库中提供的XMMatrixRotation系列函数所绕轴均为过原点的轴，但是（1）过程需要过当前位置处的轴，第一种方式在构建旋转矩阵并不容易。

第二种方式，令R = R1*R2*...*Rk*...*Rn，T = T1*T2*...Tk*...*Tn，W = R * T，则有 Ar = A * W，形式上更简单，实现也更简单。只需要计算当前时刻上要发生的旋转和位移，并将初始至当前时刻上的旋转、位移累积：R *= Rk，T *= Tk，就可以得到当前时刻的世界矩阵。