高等数学——复杂函数的求导方法

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上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。

我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。

函数四则运算求导法则

我们假设\(u=u(x)\)和\(v=v(x)\)都在x点有导数，那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质：

\[ \begin{aligned} \left[u(x) \pm v(x)\right]'&= u'(x) \pm v'(x) \\ \left[u(x)v(x)\right]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} (v(x) \neq 0) \end{aligned} \]

我们来看一下证明过程，熟悉证明过程并不是炫技，除了能加深对公式的理解之外，更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了，也可以临时推导一下，这是学算法和数学很重要的技巧。

我们先来看第一个，第一个很容易证明，我们直接套一下导数的公式即可：

\[ \begin{aligned} \left[u(x) \pm v(x) \right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left[u(x+\Delta x) \pm v(x + \Delta x) \right] - \left[u(x) \pm v(x) \right] }{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x)}{\Delta x} \\ &= u'(x) \pm v'(x) \end{aligned} \]

第二个式子同样套用公式：

\[ \begin{aligned} \left[u(x)v(x)\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x + \Delta x) - u(x) v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x + \Delta x) - u(x)v(x+ \Delta x) + u(x)v(x+\Delta x) - u(x) v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x+\Delta x) - u(x))v(x+\Delta x) + u(x)(v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}v(x+\Delta x) \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}u(x)\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\\ &=v(x+\Delta x)u'(x) + u(x)v'(x) \\ &=u(x)v'(x) + u'(x)v(x) \end{aligned} \]

最后是第三个式子的推导，也并不复杂：

\[ \displaystyle \begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x)u(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x)u(x+\Delta x)-v(x)u(x)+v(x)u(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x)-\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)}\\ &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{aligned} \]

反函数求导法则

推导完了四则运算的求导法则，我们再来看一下反函数的求导法则。

我们陷在了看结论，如果函数\(x=f(y)\)在区间\(I_y\)内单调、可导并且\(f'(x)!=0\)，那么它的反函数\(y=f^{-1}(x)\)在区间\(I_x=\{x|x=f(y), y\in I_y\}\)内也可导，那么：

\[\left[f^{-1}(x)\right]'=\frac{1}{f'(y)}\]

关于这个结论的证明很简单，因为\(x=f(y)\)在区间内单调、可导，所以它的反函数\(y=f^{-1}(x)\)存在，并且也单调且连续。

所以:

\[ \begin{aligned} \Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}x \neq 0 \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{f'(y)} \end{aligned} \]

由于\(y=f^{-1}(x)\)连续，\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0\)，所以上式成立。

我们来看一个例子：\(x=\sin y, y\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\)，则\(y=\arcsin x\)是它的反函数，根据上面的公式，我们可以得到：

\[(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}\]

由于\(\cos y= \sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{1-x^2}\)，代入上式可以得到：

\[(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

利用同样的方法，我们还可以求出其他反三角函数的导数，由于这些并不太常用，所以我们就不多介绍了，感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下，我想应该也不难。

复合函数求导

这是最后一个法则，也是本篇文章的重点，因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数，还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果，但是对于一些看起来比较复杂的函数，我们并不能一下写出它们的导数。

比如说：\(\sin (x^2+3x)\)，比如\(\ln (3x -1)\)等等，这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的，但是我们一下子并不能写出它们的导数，而且要通过导数的定义推导也非常麻烦，对于这些导数就需要用到今天的重头戏，也就是复合函数的求导法则了。

对于复合函数而言，拥有如下法则：如果函数\(u=g(x)\)在点x处可导，并且\(y=f(u)\)在点\(u=g(x)\)处也可导，那么复合函数\(y=f[g(x)]\)在x处可导，它的导数为：

\[\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\]

如果复合函数的数量更多也是一样的，我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以，复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前，我们先来证明一下。

由于\(y=f(u)\)在点u处可导，因此

\[\displaystyle\lim_{\Delta u \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u)\]

因为\(f'(u)\)存在，所以我们将它变形为：

\[\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) + a\]

其中a是\(\Delta u \to 0\)时的无穷小，我们对两边同时乘上\(\Delta u\)，可以得到：

\[\Delta y = f'(u)\Delta u + a\cdot \Delta u\]

上式当中\(\Delta u\)和a都是无穷小，所以当\(\Delta u \to 0\)时，\(\Delta y=0\)，我们对上式两边同时除以\(\Delta x\)，得：

\[\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + a\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\]

于是：

\[\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+a\frac{\Delta u}{\Delta x}]\]

又根据\(u=g(x)\)在点x处可导，所以有：

\[\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=g'(x)\]

我们代入，就可以得到：

\[\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)\cdot g'(x)\]

其实我们都知道相比于公式的证明，公式的运用更加重要，下面我们就来看两个例子，来巩固一下这个链式求导法则：

\(y=\ln \sin 3x\)，求\(\frac{dy}{dx}\)

我们令\(u=3x, g=\sin u\)

所以：

\[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dg}\cdot \frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{g}\cdot \cos u\cdot 3\\ &=3\frac{\cos 3x}{\sin 3x} \\ &=3 \cot 3x \end{aligned} \]

还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗：

\[f(\theta) = \frac{1}{m}(\theta X-Y)^2\]

我们来试着学以致用，求一下\(f(\theta)\)的导数，在机器学习当中，X和Y都是样本都是已知的参数，要求的是\(\theta\)，所以我们对\(\theta\)求导：

\[ \begin{aligned} f'(\theta) &= \frac{1}{m}\cdot 2 \cdot (\theta X - Y)\cdot X \\ &=\frac{2}{m}X^T(\theta X - Y) \end{aligned} \]

这个结果其实就是之前我们说的梯度，梯度本来就是由导数计算得到的，所以理解了链式求导的公式，可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式，相信会有更深刻的体会。

今天的文章篇幅有些长，但是除去证明之后，剩下的内容并不多，重要的是它的应用范围很广，所以希望大家都能学会。

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