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粒子群算法
粒子群算法源于复杂适应系统(Complex Adaptive System,CAS)。CAS理论于1994年正式提出,CAS中的成员称为主体。比如研究鸟群系统,每个鸟在这个系统中就称为主体。主体有适应性,它能够与环境及其他的主体进行交流,并且根据交流的过程“学习”或“积累经验”改变自身结构与行为。整个系统的演变或进化包括:新层次的产生(小鸟的出生);分化和多样性的出现(鸟群中的鸟分成许多小的群);新的主题的出现(鸟寻找食物过程中,不断发现新的食物)。
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中,粒子通过跟踪两个“极值”(pbest,gbest)来更新自己。
在找到这两个最优值后,粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。
i 表示第 i 个粒子, d 表示粒子的第 d 个维度。r1, r2 表示两个位于 [0, 1] 的随机数(对于一个粒子的不同维度,r1, r2 的值不同)。pbest[i] 是指粒子取得最高(低)适应度时的位置,gbest[i] 指的是整个系统取得最高(低)适应度时的位置。
实践
我们用 PSO 算法求解如下函数的最小值
可以在空间画出图像
下图是使用 5 个粒子的收敛情况
可以看到,fitness 在第 12 轮就几乎收敛到 -10.0。
下面是完整代码
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D INF = 1e5 def plot_cost_func(): """画出适应度函数""" fig = plt.figure() ax = Axes3D(fig) X = np.arange(-4, 4, 0.25) Y = np.arange(-4, 4, 0.25) X, Y = np.meshgrid(X, Y) Z = (X**2 + Y**2) - 10 ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow') plt.show() def fitness(x): return x[0]**2 + x[1]**2 - 10 class PSOSolver(object): def __init__(self, n_iter, weight=0.5, c1=2, c2=2, n_particle=5): self.n_iter = n_iter self.weight = weight self.c1 = c1 self.c2 = c2 self.n_particle = n_particle self.gbest = np.random.rand(2) # gbest 对应的函数值 self.gbest_fit = fitness(self.gbest) # 将位置初始化到 [-5, 5] self.location = 10 * np.random.rand(n_particle, 2) - 5 # 将速度初始化到 [-1, 1] self.velocity = 2 * np.random.rand(n_particle, 2) - 1 self.pbest_fit = np.tile(INF, n_particle) self.pbest = np.zeros((n_particle, 2)) # 记录每一步的最优值 self.best_fitness = [] def new_velocity(self, i): r = np.random.rand(2, 2) v = self.velocity[i] x = self.location[i] pbest = self.pbest[i] return self.weight * v + self.c1 * r[0] * (pbest - x) + \ self.c2 * r[1] * (self.gbest - x) def solve(self): for it in range(self.n_iter): for i in range(self.n_particle): v = self.new_velocity(i) x = self.location[i] + v fit_i = fitness(x) if fit_i < self.pbest_fit[i]: self.pbest_fit[i] = fit_i self.pbest[i] = x if fit_i < self.gbest_fit: self.gbest_fit = fit_i self.gbest = x self.velocity[i] = v self.location[i] = x self.best_fitness.append(self.gbest_fit) if __name__ == '__main__': plot_cost_func() n_iter = 20 s = PSOSolver(n_iter) s.solve() print(s.gbest_fit) plt.title("Fitness Curve") plt.xlabel("iter") plt.ylabel("fitness") plt.plot(np.arange(n_iter), np.array(s.best_fitness)) plt.show()
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