树状数组与线段树（三）
清风紫雪 人气:2找规律题
1.螺旋折线
如下图所示的螺旋折线经过平面上所有整点恰好一次。
对于整点 (X,Y)，我们定义它到原点的距离 dis(X,Y) 是从原点到 (X,Y) 的螺旋折线段的长度。
例如 dis(0,1)=3,dis(−2,−1)=9
给出整点坐标 (X,Y)，你能计算出 dis(X,Y)吗？
输入格式
包含两个整数 X,Y。
输出格式
输出一个整数，表示 dis(X,Y)。
数据范围
−109≤X,Y≤109
输入样例：
0 1
输出样例：
3
解题思路：这是一道找规律题，我们可以将整个坐标都用距离标识一下，如下图
我们先看x>=0&&y>=0时：若x>=y,dis=(2*x)*(2*x)+(x-y),若x<y,dis=(2*y)*(2*y)-(y-x)
再看x<0&&y>0:x取绝对值，若x>=y,dis=(2*x-1)*(2*x)-(x-y)，若x<y,dis=(2*y-1)*(2*y)+(y-x)
再看x<=0&&y<=0：x取绝对值，y取绝对值，若x>=y&&x!=0&&y!=0,dis=(2*x-1)*(2*x-1)+(x-y),若x<y&&x!=0&&y!=0，dis=(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1-x)
其中需要特殊考虑x和y的负半轴，x!=0&&y==0，dis=(2*x-1)*(2*x-1)+(x-1)，当x==0&&y!=0，dis=(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1)
再看x>0&&y<0时：y取绝对值，当x<=y，dis=(2*y+1)*(2*y)+(y-x)，当x>y时，dis=(2*x+1)*(2*x)-(x-y)
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
ll x,y,i,j;
cin>>x>>y;
if(x>=0&&y>=0)
{
if(y>=x)
cout<<(2*y)*(2*y)-(y-x)<<endl;
else if(y<x)
cout<<(2*x)*(2*x)+(x-y)<<endl;
}
else if(x<0&&y>0)
{
x=-x;
if(x>=y)
cout<<(2*x-1)*(2*x)-(x-y)<<endl;
else if(x<y)
cout<<(2*y-1)*(2*y)+(y-x)<<endl;
}
else if(x<=0&&y<=0)
{
x=-x;y=-y;
if(x>=y&&x!=0&&y!=0)
{
cout<<(2*x-1)*(2*x-1)+(x-y)<<endl;
}
else if(x<y&&x!=0&&y!=0)
cout<<(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1-x)<<endl;
else if(x!=0&&y==0)
cout<<(2*x-1)*(2*x-1)+(x-1)<<endl;
else if(x==0&&y!=0)
cout<<(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1)<<endl;
}
else if(x>0&&y<0)
{
y=-y;
if(x<=y)
cout<<(2*y+1)*(2*y)+(y-x)<<endl;
else if(x>y)
cout<<(2*x+1)*(2*x)-(x-y)<<endl;
}
return 0;
}
（二）差分
1.差分矩阵
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2解题思路：差分矩阵是二维的，之前的差分数组是一维的，他的解题思路与一维的思路是一样的
核心：a[N][N],b[N][N]，a数组是b数组的前缀和
因此要在（x1,y1）,（x2,y2）之间加上一个数，则需要将b[x1][y1]+=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
这样才能满足差分矩阵的要求
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
b[x1][y1]+=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
int i,j;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
insert(i,j,i,j,a[i][j]);
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2,c;
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
（三）线段树
1.油漆面积
X星球的一批考古机器人正在一片废墟上考古。
该区域的地面坚硬如石、平整如镜。
管理人员为方便，建立了标准的直角坐标系。
每个机器人都各有特长、身怀绝技。
它们感兴趣的内容也不相同。
经过各种测量，每个机器人都会报告一个或多个矩形区域，作为优先考古的区域。
矩形的表示格式为 (x1,y1,x2,y2)，代表矩形的两个对角点坐标。
为了醒目，总部要求对所有机器人选中的矩形区域涂黄色油漆。
小明并不需要当油漆工，只是他需要计算一下，一共要耗费多少油漆。
其实这也不难，只要算出所有矩形覆盖的区域一共有多大面积就可以了。
注意，各个矩形间可能重叠。
输入格式
第一行，一个整数 n，表示有多少个矩形。
接下来的 n行，每行有 4 个整数 x1,y1,x2,y2，空格分开，表示矩形的两个对角顶点坐标。
输出格式
一行一个整数，表示矩形覆盖的总面积。
数据范围
1≤n≤10000
0≤x1,x2,y2,y2≤10000
数据保证 x1<x2 且 y1<y2。
输入样例1：
3
1 5 10 10
3 1 20 20
2 7 15 17
输出样例1：
340
输入样例2：
3
5 2 10 6
2 7 12 10
8 1 15 15
输出样例2：
128代码：
题解稍后补上#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10010;
int n;
struct Segment
{
int x,y1,y2;
int k;
bool operator< (const Segment &t)const
{
return x<t.x;
}
}seg[N*2];
struct node
{
int l,r;
int len,cnt;
}tr[N*4];
void pushup(int u)
{
if(tr[u].cnt>0)
tr[u].len=tr[u].r-tr[u].l+1;
else if(tr[u].l==tr[u].r)
tr[u].len=0;
else
tr[u].len=tr[u<<1].len+tr[u<<1|1].len;
}
void build(int u,int l,int r)
{
tr[u]={l,r};
if(l==r)
return;
int mid=l+r>>1;
build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}
void modify(int u,int l,int r,int k)
{
if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
{
tr[u].cnt+=k;
pushup(u);
}
else
{
int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
if(l<=mid)
modify(u<<1,l,r,k);
if(r>mid)
modify(u<<1|1,l,r,k);
pushup(u);
}
}
int main()
{
cin>>n;
int m=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x1,y1,x2,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
seg[m++]={x1,y1,y2,1};
seg[m++]={x2,y1,y2,-1};
}
sort(seg,seg+m);
build(1,0,10000);
int res=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(i>0)
res+=tr[1].len*(seg[i].x-seg[i-1].x);
modify(1,seg[i].y1,seg[i].y2-1,seg[i].k);
}
printf("%d",res);
return 0;
}
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