C++中double浮点数精度丢失的深入分析

看了一篇关于C/C++浮点数的博文，在Win32下，把int, 指针地址,long等4字节整数赋给一个double后，再用该double数赋给原始类型的数，得到的结果于最初的数值一致，即不存在任何精度丢失。例如下面的结果将总是true:

 long a=123456; //assign any long number here
 double db=a;
 long b=db;
 printf("%s\n",a==b?"true":"false");

但是对于long long或win64下的指针地址等8字节整数将存在精度丢失，于是对这方面做了一个简单的测试：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>

void showEncodeOfDouble(unsigned char* db){

 const int ByteLength=8; 
 for(int i=ByteLength-1;i>=0;i--) 
  printf(" %.2x",db[i]);

 printf("\n");

}


int main(){
 
 unsigned long long maxULL=0xffffffffffffffff; //2^64-1=18446744073709551615,
             //max unsigned long long
 printf("%llu\n",maxULL);

 double d1=maxULL;        //20bit Significant,Precision Loss 
 printf("%f\n",d1);      

 maxULL=d1;
 printf("%llu\n",maxULL);
 
 showEncodeOfDouble((unsigned char*)&d1);

 system("pause");
 return 0;
}

输出的结果如下（visual studio,win32）：

18446744073709551615
18446744073709552000.000000
9223372036854775808
 43 f0 00 00 00 00 00 00

至此，有两点疑问（暂时不理会代码中showEncodeOfDouble的结果）：

  1）为什么丢失精度后得到的double数是18446744073709552000.000000？
  2）为什么将double数重新转化为unsigned long long后得到的数又和double不一致呢？

对于这两个问题，需要对C++浮点数的规格有一定的了解。

1  IEEE浮点标准

C/C++采用的是IEEE浮点标准，它以“二进制的科学表示法”表示一个小数：

其中M是一个整数部分仅有一位的二进制小数，例如1.011，表示十进制下的1.375。E表示该小数以2为底时的阶数。基于以上的表示方式，小数需要对三部分进行编码：表示符号的s，及阶码E、尾数码M。C++中的double类型三种编码所占的位数如图所示。

53位尾数码所能达到的精度为53二进制位，约为16 个十进制位( 53 log10(2) ≈ 15.955) [1]，尾数码的编码中还有一个隐含的开头整数位1（或0，当11位阶码全0时）因此实际中可得15-17位十进制的精度。当有效位数最多15位的十进制数转换成double然后重新转换为原来的十进制类型时，数值保持一致；另一方面，将一个double数转化为可以容纳17位以上有效数字的十进制数再重新转化为double，结果数值也保持一致。

这就解释了为什么4字节的整数转化为double重新转化能保持一致（2^32=4294967296仅10个有效位），而8字节的整数却可能丢失精度（2^64-1=18446744073709551615共20个有效位）。但第一个问题中整数丢失精度后转化成的double数值是怎么来的呢，这需要了解C++阶码和尾数对于double数值的意义。

2 阶码编码和尾数编码

在阶码编码中，有一个常数偏置量Bias=1023，假设11位阶码所代表的无符号整数值为e，

1）若e不为0（11位全为1时用于表示特殊数字，此处不讨论），则double数值为

2）若e=0，则小数值为

那么，可以看函数showEncodeOfDouble了，它的作用是将一个double数的编码按字节打印出来（左边是高字节），按其打印结果按照上面计算，可知double编码值表示的数值是2^64，这是合理的，当把精度较高的整数转化为double时，C++采用向偶数舍入的方式得到最接近的值[2]。至于打印出的结果，属于C++浮点数打印中的细节问题。

3 C++浮点数打印

许多C/C++的库中在输出double时，通常有意使得输出结果简短些（即使设置了足够多的可见位数），以避免较大位数的输出。直接使用C中的printf或cout打印double数时，打印显示的结果也有可能是带有精度丢失的结果，可使用16进制的方式打印出更精确的double：

printf("%a\n",d1);

得到的输出结果为：

0x1.000000p+64

至此问题1实际上只是C++中，将高精度整数转double时的偶数舍入问题。

对于问题2，从float或double转换成int,值将会被向零舍入.例如1.999将被转换成1而-1.999将会被转换成-1。进一步来说，值有可能会溢出。C语言标准没有对这种情况指出固定的结果，这种转换行为是无定义的。

参考链接：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format#cite_note-whyieee-1

[2]深入理解计算机系统，Randal E. Bryant, 机械工业出版社

[3]http://stackoverflow.com/questions/4738768/printing-double-without-losing-precision