动画 | 什么是2-3-4树？

画了一系列树的动画，从二分搜索树，到AVL树，再到2-3树，再到基于2-3树的红黑树，都可以发现这些树都跟二叉查找树很像啊。

嘿嘿！二分搜索树就是二叉查找树；AVL树也是一颗二分搜索树，只多了高度差的限制；2-3树虽满足二分搜索树的性质，但不是一颗二分搜索树，2-3树由2-节点和3-节点组成的，满足了完美平衡性；基于2-3树的红黑树就是希望不要有3-节点，将3-节点转换成二叉，两个元素之间由红链接相连，并约定谁是子节点谁是红的，如下图。

本篇文章还会继续介绍满足二分搜索树性质的一棵树，它是2-3-4树，和2-3树一样也不是一颗二分搜索树。它在2-3树的基础上可以存储4-节点，4-节点由三个元素组成，有四个子树。

查找元素

和二分搜索树一样，根据元素的大小来决定查找的方向。要判断一个元素是否存在，我们首先将待查找元素和根节点逐一比较，如果它和当前节点中的一个元素相等，就返回查找命中；如果它比当前节点任一元素要大，就选择右递归进行下一个节点；如果它比当前节点任一元素要小，就选择左递归进行下一个节点；直到树底下的空节点，返回查找未命中。

插入元素

我们知道2-3树树底下最多是3-节点，可以直接插入元素然后再判断是否是4-节点，如果是向2-节点插入一个元素，变成3-节点无需分解；如果是向3-节点插入一个元素变成4-节点，进行向上变换将中间的键合并到父节点，如果父节点也变成4-节点，也接着继续分解4-节点，直到根节点，根节点也是4-节点，也接着分解，树高+1。

而2-3-4树的插入算法不一样，它没有向上进行变换分解4-节点的过程，因为2-3-4树可以存储4-节点。不过插入之前，进行查找命中的时候所过路径都要分解4-节点，如果查找未命中，则在此空节点插入一个元素；如果查找命中，说明2-3-4树是存在这个数的，则直接返回，之前的4-节点分解就分解了，没有必要再次合并4-节点。

插入算法同样也需要进行分解4-节点算法，不过是由向上变换变成了向下变换。

沿着链接向下进行变换分解4-节点，分为三种情况：

1）4-节点作为根节点，分解；

2）父节点为2-节点，当前节点为4-节点；

3）父节点为3-节点，当前节点为4-节点。

树底下插入一个元素只有两种情况了：向2-节点中插入元素和向3-节点中插入元素。

动画：插入算法

删除元素

既然是2-3-4树满足二分搜索树性质的，查找算法、插入算法和删除算法很多都是相似的。我们回忆一下二分搜索树的删除算法，它在删除任何一个非叶子节点时，都会获取右子树的最小叶子节点去代替待删除元素，然后进行右子树的删除最小叶子节点。

所以，2-3-4树也是一样，先进行命中查找，如果查找命中，就获取待删除元素的直接后继节点去替换待删除元素，然后进行右子树的删除最小元素。不过在查找待删除元素的同时，需要沿着左链接或者右链接向下进行变换，所过路径分解4-节点。

删除最小元素

从树底下删除一个元素，如果不是2-节点是很好删除的，从3-节点删除一个元素变成2-节点和从4-节点删除一个元素变成3-节点，都不会影响整个2-3-4树的绝对平衡性。如果从2-节点删除一个元素，而这个2-节点只有一个元素，删除之后这个节点变成一条空链接，会破坏树的绝对平衡性。

所以在沿着左链接向下进行变换的时候，确保当前节点不是2-节点（除了根节点）。如果当前节点是2-节点，可以先向兄弟节点借一个位置；如果兄弟节点也是2-节点，没法借，可以借父节点的一个位置。

但借的先后顺序不能弄错了，如果先向父节点借来一个位置，不清楚兄弟节点有多少子树会到时候没法分解的。例如兄弟节点是4-节点，当前节点、父节点一个位置和兄弟节点合并就变成了6-节点，比4-节点分解更加麻烦。

沿着左链接向下进行变换可以分为三种情况：

1）当前节点不是2-节点，跳过；

2）当前节点是2-节点，兄弟节点是2-节点，将当前节点、父节点的最小元素和兄弟节点合并成4-节点；

3）当前节点是2-节点，兄弟节点不是2-节点，将兄弟节点的最小元素移到父节点，父节点的最小元素移到当前节点（兄弟节点的最小元素要比父节点的最小元素要大，不是同一个元素）。

动画：删除最小算法

删除任意元素

删除任意元素首先要查找到这个元素，如果查找未命中则忽略之；如果查找命中，通过右子树中序遍历找到第一个元素（右子树最小元素），将这个元素直接替换掉待删除元素。

删除任意元素除了沿着左链接向下进行变换，还需要沿着右链接向下进行变换。沿着右链接向下进行变换也分为三种情况，将最小元素改为最大元素：

1）当前节点不是2-节点，跳过；

2）当前节点是2-节点，兄弟节点是2-节点，将当前节点、父节点的最大元素和兄弟节点合并成4-节点；

3）当前节点是2-节点，兄弟节点不是2-节点，将兄弟节点的最大元素移到父节点，父节点的最大元素移到当前节点（父节点的最大元素要比兄弟节点的最大元素要大，不是同一个元素）。

动画：删除任意算法