神经网络系列之三 -- 损失函数
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第3章 损失函数
3.0 损失函数概论
3.0.1 概念
在各种材料中经常看到的中英文词汇有：误差，偏差，Error，Cost，Loss，损失，代价......意思都差不多，在本书中，使用“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇，具体的损失函数符号用J来表示，误差值用loss表示。
“损失”就是所有样本的“误差”的总和，亦即（m为样本数）：
\[损失 = \sum^m_{i=1}误差_i\]
\[J = \sum_{i=1}^m loss\]
在黑盒子的例子中，我们如果说“某个样本的损失”是不对的，只能说“某个样本的误差”，因为样本是一个一个计算的。如果我们把神经网络的参数调整到完全满足独立样本的输出误差为0，通常会令其它样本的误差变得更大，这样作为误差之和的损失函数值，就会变得更大。所以，我们通常会在根据某个样本的误差调整权重后，计算一下整体样本的损失函数值，来判定网络是不是已经训练到了可接受的状态。
损失函数的作用
损失函数的作用，就是计算神经网络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距，从而指导下一步的训练向正确的方向进行。
如何使用损失函数呢？具体步骤：
- 用随机值初始化前向计算公式的参数；
- 代入样本，计算输出的预测值；
- 用损失函数计算预测值和标签值（真实值）的误差；
- 根据损失函数的导数，沿梯度最小方向将误差回传，修正前向计算公式中的各个权重值；
- goto 2, 直到损失函数值达到一个满意的值就停止迭代。
3.0.2 机器学习常用损失函数
符号规则：a是预测值，y是样本标签值，J是损失函数值。
Gold Standard Loss，又称0-1误差
\[ loss=\begin{cases} 0 & a=y \\ 1 & a \ne y \end{cases} \]绝对值损失函数
\[ loss = |y-a| \]
- Hinge Loss，铰链/折页损失函数或最大边界损失函数，主要用于SVM（支持向量机）中
\[ loss=max(0,1-y \cdot a), y=\pm 1 \]
- Log Loss，对数损失函数，又叫交叉熵损失函数(cross entropy error)
\[ loss = -\frac{1}{m} \sum_i^m y_i log(a_i) + (1-y_i)log(1-a_i) \qquad y_i \in \{0,1\} \]
Squared Loss，均方差损失函数
\[ loss=\frac{1}{2m} \sum_i^m (a_i-y_i)^2 \]Exponential Loss，指数损失函数
\[ loss = \frac{1}{m}\sum_i^m e^{-(y_i \cdot a_i)} \]
3.0.3 损失函数图像理解
用二维函数图像理解单变量对损失函数的影响
图3-1 单变量的损失函数图
图3-1中，纵坐标是损失函数值，横坐标是变量。不断地改变变量的值，会造成损失函数值的上升或下降。而梯度下降算法会让我们沿着损失函数值下降的方向前进。
- 假设我们的初始位置在A点，\(x=x0\)，损失函数值（纵坐标）较大，回传给网络做训练；
- 经过一次迭代后，我们移动到了B点，\(x=x1\)，损失函数值也相应减小，再次回传重新训练；
- 以此节奏不断向损失函数的最低点靠近，经历了\(x2、x3、x4、x5\)；
- 直到损失值达到可接受的程度，比如\(x5\)的位置，就停止训练。
用等高线图理解双变量对损失函数影响
图3-2 双变量的损失函数图
图3-2中，横坐标是一个变量\(w\)，纵坐标是另一个变量\(b\)。两个变量的组合形成的损失函数值，在图中对应处于等高线上的唯一的一个坐标点。\(w、b\)所有的不同的值的组合会形成一个损失函数值的矩阵，我们把矩阵中具有相同（相近）损失函数值的点连接起来，可以形成一个不规则椭圆，其圆心位置，是损失值为0的位置，也是我们要逼近的目标。
这个椭圆如同平面地图的等高线，来表示的一个洼地，中心位置比边缘位置要低，通过对损失函数值的计算，对损失函数的求导，会带领我们沿着等高线形成的梯子一步步下降，无限逼近中心点。
3.0.4 神经网络中常用的损失函数
均方差函数，主要用于回归
交叉熵函数，主要用于分类
二者都是非负函数，极值在底部，用梯度下降法可以求解。
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3.1 均方差函数
MSE - Mean Square Error。
该函数就是最直观的一个损失函数了，计算预测值和真实值之间的欧式距离。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。
均方差函数常用于线性回归(linear regression)，即函数拟合(function fitting)。公式如下：
\[ loss = {1 \over 2}(z-y)^2 \tag{单样本} \]
\[ J=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (z_i-y_i)^2 \tag{多样本} \]
3.1.1 工作原理
要想得到预测值a与真实值y的差距，最朴素的想法就是用\(Error=a_i-y_i\)。
对于单个样本来说，这样做没问题，但是多个样本累计时，\(a_i-y_i\)有可能有正有负，误差求和时就会导致相互抵消，从而失去价值。所以有了绝对值差的想法，即\(Error=|a_i-y_i|\)。这看上去很简单，并且也很理想，那为什么还要引入均方差损失函数呢？两种损失函数的比较如表3-1所示。
表3-1 绝对值损失函数与均方差损失函数的比较
| 样本标签值 | 样本预测值 | 绝对值损失函数 | 均方差损失函数 |
|---|---|---|---|
| \([1,1,1]\) | \([1,2,3]\) | \((1-1)+(2-1)+(3-1)=3\) | \((1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2=5\) |
| \([1,1,1]\) | \([1,3,3]\) | \((1-1)+(3-1)+(3-1)=4\) | \((1-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2=8\) |
| \(4/3=1.33\) | \(8/5=1.6\) |
可以看到5比3已经大了很多，8比4大了一倍，而8比5也放大了某个样本的局部损失对全局带来的影响，用术语说，就是“对某些偏离大的样本比较敏感”，从而引起监督训练过程的足够重视，以便回传误差。
3.1.2 实际案例
假设有一组数据如图3-3，我们想找到一条拟合的直线。
图3-3 平面上的样本数据
图3-4中，前三张显示了一个逐渐找到最佳拟合直线的过程。
- 第一张，用均方差函数计算得到Loss=0.53；
- 第二张，直线向上平移一些，误差计算Loss=0.16，比图一的误差小很多；
- 第三张，又向上平移了一些，误差计算Loss=0.048，此后还可以继续尝试平移（改变b值）或者变换角度（改变w值），得到更小的损失函数值；
- 第四张，偏离了最佳位置，误差值Loss=0.18，这种情况，算法会让尝试方向反向向下。
图3-4 损失函数值与直线位置的关系
第三张图损失函数值最小的情况。比较第二张和第四张图，由于均方差的损失函数值都是正值，如何判断是向上移动还是向下移动呢？
在实际的训练过程中，是没有必要计算损失函数值的，因为损失函数值会体现在反向传播的过程中。我们来看看均方差函数的导数：
\[ \frac{\partial{J}}{\partial{a_i}} = a_i-y_i \]
虽然\((a_i-y_i)^2\)永远是正数，但是\(a_i-y_i\)却可以是正数（直线在点下方时）或者负数（直线在点上方时），这个正数或者负数被反向传播回到前面的计算过程中，就会引导训练过程朝正确的方向尝试。
在上面的例子中，我们有两个变量，一个w，一个b，这两个值的变化都会影响最终的损失函数值的。
我们假设该拟合直线的方程是y=2x+3，当我们固定w=2，把b值从2到4变化时，看看损失函数值的变化如图3-5所示。
图3-5 固定W时，b的变化造成的损失值
我们假设该拟合直线的方程是y=2x+3，当我们固定b=3，把w值从1到3变化时，看看损失函数值的变化如图3-6所示。
图3-6 固定b时，W的变化造成的损失值
3.1.3 损失函数的可视化
损失函数值的3D示意图
横坐标为W，纵坐标为b，针对每一个w和一个b的组合计算出一个损失函数值，用三维图的高度来表示这个损失函数值。下图中的底部并非一个平面，而是一个有些下凹的曲面，只不过曲率较小，如图3-7。
图3-7 W和b同时变化时的损失值形成的曲面
损失函数值的2D示意图
在平面地图中，我们经常会看到用等高线的方式来表示海拔高度值，下图就是上图在平面上的投影，即损失函数值的等高线图，如图3-8所示。
图3-8 损失函数的等高线图
如果还不能理解的话，我们用最笨的方法来画一张图，代码如下：
s = 200
W = np.linspace(w-2,w+2,s)
B = np.linspace(b-2,b+2,s)
LOSS = np.zeros((s,s))
for i in range(len(W)):
for j in range(len(B)):
z = W[i] * x + B[j]
loss = CostFunction(x,y,z,m)
LOSS[i,j] = round(loss, 2)上述代码针对每个w和b的组合计算出了一个损失值，保留小数点后2位，放在LOSS矩阵中，如下所示：
[[4.69 4.63 4.57 ... 0.72 0.74 0.76]
[4.66 4.6 4.54 ... 0.73 0.75 0.77]
[4.62 4.56 4.5 ... 0.73 0.75 0.77]
...
[0.7 0.68 0.66 ... 4.57 4.63 4.69]
[0.69 0.67 0.65 ... 4.6 4.66 4.72]
[0.68 0.66 0.64 ... 4.63 4.69 4.75]]然后遍历矩阵中的损失函数值，在具有相同值的位置上绘制相同颜色的点，比如，把所有值为0.72的点绘制成红色，把所有值为0.75的点绘制成蓝色......，这样就可以得到图3-9。
图3-9 用笨办法绘制等高线图
此图和等高线图的表达方式等价，但由于等高线图比较简明清晰，所以以后我们都使用等高线图来说明问题。
代码位置
ch03, Level1
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3.2 交叉熵损失函数
交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 \(p,q\) 的差异，其中 \(p\) 表示真实分布，\(q\) 表示非真实分布，那么\(H(p,q)\)就称为交叉熵：
\[H(p,q)=\sum_i p_i \cdot \ln {1 \over q_i} = - \sum_i p_i \ln q_i \tag{1}\]
交叉熵可在神经网络中作为损失函数，\(p\) 表示真实标记的分布，\(q\) 则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量 \(p\) 与 \(q\) 的相似性。
交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。
3.2.1 交叉熵的由来
信息量
信息论中，信息量的表示方式：
\[I(x_j) = -\ln (p(x_j)) \tag{2}\]
\(x_j\)：表示一个事件
\(p(x_j)\)：表示\(x_j\)发生的概率
\(I(x_j)\)：信息量，\(x_j\)越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大
假设对于学习神经网络原理课程，我们有三种可能的情况发生，如表3-2所示。
表3-2 三种事件的概论和信息量
| 事件编号 | 事件 | 概率 \(p\) | 信息量 \(I\) |
|---|---|---|---|
| \(x_1\) | 优秀 | \(p=0.7\) | \(I=-\ln(0.7)=0.36\) |
| \(x_2\) | 及格 | \(p=0.2\) | \(I=-\ln(0.2)=1.61\) |
| \(x_3\) | 不及格 | \(p=0.1\) | \(I=-\ln(0.1)=2.30\) |
WoW，某某同学不及格！好大的信息量！相比较来说，“优秀”事件的信息量反而小了很多。
熵
\[H(p) = - \sum_j^n p(x_j) \ln (p(x_j)) \tag{3}\]
则上面的问题的熵是：
\[ \begin{aligned} H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\ &=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\ &=0.804 \end{aligned} \]
相对熵(KL散度)
相对熵又称KL散度，如果我们对于同一个随机变量 \(x\) 有两个单独的概率分布 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。
KL散度的计算公式：
\[D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j) \over q(x_j)} \tag{4}\]
\(n\) 为事件的所有可能性。\(D\) 的值越小，表示 \(q\) 分布和 \(p\) 分布越接近。
交叉熵
把上述公式变形：
\[ \begin{aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j)} - \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \\ &=- H(p(x)) + H(p,q) \end{aligned} \tag{5} \]
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
\[H(p,q) =- \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \tag{6}\]
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即\(D_{KL}(y||a)\)，由于KL散度中的前一部分\(H(y)\)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用交叉熵做损失函数来评估模型。
\[loss =- \sum_{j=1}^n y_j \ln a_j \tag{7}\]
其中，\(n\) 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵计算公式是：
\[J =- \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n y_{ij} \ln a_{ij} \tag{8}\]
\(m\) 是样本数，\(n\) 是分类数。
有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“学会了”和“没学会”，称为\(0/1\)分布或二分类。对于这类问题，由于\(n=2\)，所以交叉熵可以简化为：
\[loss =-[y \ln a + (1-y) \ln (1-a)] \tag{9}\]
二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：
\[J= - \sum_{i=1}^m [y_i \ln a_i + (1-y_i) \ln (1-a_i)] \tag{10}\]
3.2.2 二分类问题交叉熵
把公式10分解开两种情况，当\(y=1\)时，即标签值是1，是个正例，加号后面的项为0：
\[loss = -\ln(a) \tag{11}\]
横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。y=1意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。
当y=0时，即标签值是0，是个反例，加号前面的项为0：
\[loss = -\ln (1-a) \tag{12}\]
此时，损失函数值如图3-10。
图3-10 二分类交叉熵损失函数图
假设学会了课程的标签值为1，没有学会的标签值为0。我们想建立一个预测器，对于一个特定的学员，根据出勤率、课堂表现、作业情况、学习能力等等来预测其学会课程的概率。
对于学员甲，预测其学会的概率为0.6，而实际上该学员通过了考试，真实值为1。所以，学员甲的交叉熵损失函数值是：
\[ loss_1 = -(1 \times \ln 0.6 + (1-1) \times \ln (1-0.6)) = 0.51 \]
对于学员乙，预测其学会的概率为0.7，而实际上该学员也通过了考试。所以，学员乙的交叉熵损失函数值是：
\[ loss_2 = -(1 \times \ln 0.7 + (1-1) \times \ln (1-0.7)) = 0.36 \]
由于0.7比0.6更接近1，是相对准确的值，所以 \(loss2\) 要比 \(loss1\) 小，反向传播的力度也会小。
3.2.3 多分类问题交叉熵
当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。假设期末考试有三种情况：
- 优秀，标签值OneHot编码为\([1,0,0]\)
- 及格，标签值OneHot编码为\([0,1,0]\)
- 不及格，标签值OneHot编码为\([0,0,1]\)
假设我们预测学员丙的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：\([0.2,0.5,0.3]\)，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：
\[ loss_1 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.5 + 1 \times \ln 0.3) = 1.2 \]
假设我们预测学员丁的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：\([0.2,0.2,0.6]\)，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：
\[ loss_2 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.2 + 1 \times \ln 0.6) = 0.51 \]
可以看到，0.51比1.2的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值（0.6 vs 0.3），交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。
3.2.4 为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？
回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。
分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid或者Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。
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