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PCA降维的原理、方法、以及python实现。

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PCA(主成分分析法)

1. PCA(最大化方差定义或者最小化投影误差定义)是一种无监督算法,也就是我们不需要标签也能对数据做降维,这就使得其应用范围更加广泛了。那么PCA的核心思想是什么呢?

2. PCA存在的问题:

3. PCA的作用:

4. 方差的作用:咱们可以想象一下,如果一群人都堆叠在一起,我们想区分他们是不是比较困难,但是如果这群人站在马路两侧,我们就可以很清晰的判断出来应该这是两伙人。所以基于方差我们可以做的就是让方差来去判断咱们数据的拥挤程度,在这里我们认为方差大的应该辨识度更高一些,因为分的比较开(一条马路给隔开啦)。方差可以度量数值型数据的离散程度,数据若是想要区分开来,他那他们的离散程度就需要比较大,也就是方差比较大。

5. 协方差的作用:

6. 计算过程:(下图为采用特征值分解的计算过程,若采用SVM算法,则无需计算协方差矩阵!)

为什么我们需要协方差矩阵?我们最主要的目的是希望能把方差和协方差统一到一个矩阵里,方便后面的计算。

  假设我们只有 a 和 b 两个变量,那么我们将它们按行组成矩阵 X:(与matlab不同的是,在numpy中每一列表示每个样本的数据,每一行表示一个变量。比如矩阵X,该矩阵表示的意义为:有m个样本点,每个样本点由两个变量组成!)

  然后:

          

  我们可以看到这个矩阵对角线上的分别是两个变量的方差,而其它元素是 a 和 b 的协方差。两者被统一到了一个矩阵里。

7. 特征值与特征向量的计算方法-----特征值分解与奇异值分解法(SVD)(有关特征值与奇异值可见我的博文!)

(1) 特征值分解的求解过程较为简单,以下图为例子

(2) 特征值分解存在的缺点:

(3) SVD算法(奇异值分解)的提出克服这些缺点,目前几乎所有封装好的PCA算法内部采用的都是SVD算法进行特征值、特征向量以及K值的求解。

(4) SVD算法的计算过程:(numpy中已经将SVD进行了封装,所以只需要调用即可)

可以发现,采用SVD算法无需计算协方差矩阵,这样在数据量非常大的时候可以降低消耗。


利用python实现PCA降维(采用SVD的方法):

 1 from numpy import linalg as la
 2 import numpy as np
 3 #1.矩阵A每个变量的均值都为0,所以不用进行“去平均值”处理。倘若矩阵A的每个变量的均值不为0,则首先需要对数据进行预处理
 4 #  才可以进行协方差矩阵的求解。
 5 #2.与matlab不同的是,在numpy中每一列表示每个样本的数据,每一行表示一个变量。
 6 #  比如矩阵A,该矩阵表示的意义为:有5个样本点,每个样本点由两个变量组成!
 7 #3.np.mat()函数中矩阵的乘积可以使用 * 或 .dot()函数
 8 #  array()函数中矩阵的乘积只能使用 .dot()函数。而星号乘(*)则表示矩阵对应位置元素相乘,与numpy.multiply()函数结果相同。
 9 A = np.mat([[-1, -1, 0, 2, 0], [-2, 0, 0, 1, 1]])
10 # A = np.mat([[-1, -2], [-1, 0], [0, 0], [2, 1], [0, 1]]).T
11 U, sigma, VT = la.svd(A)
12 print("U:")
13 print(U)
14 print("sigma:")
15 print(sigma)
16 print("VT:")
17 print(VT)
18 print("-"*30)
19 print("降维前的数据:")
20 print(A.T)
21 print("降维后的数据:")
22 print(A.T * U[:,0])

运行结果图:与上文采用特征值分解所得到的降维结果一致!

8.PCA的重建

 众所周知,PCA可以将高维数据压缩为较少维度的数据,由于维度有所减少,所以PCA属于有损压缩,也就是,压缩后的数据没有保持原来数据的全部信息,根据压缩数据无法重建原本的高维数据,但是可以看作原本高维数据的一种近似。

 还原的近似数据矩阵Q = 降维后的矩阵G * Ureduce.T

9.采用sklearn封装好的PCA实现数据降维(采用的是SVD算法):

 1 import numpy as np
 2 from sklearn.decomposition import PCA
 3 # 利用sklearn进行PCA降维处理的时候,数据矩阵A的行数表示数据的个数,数据矩阵A的列数表示每条数据的维度。这与numpy中是相反的!
 4 # A = np.mat([[-1, -1, 0, 2, 0], [-2, 0, 0, 1, 1]]).T
 5 A = np.mat([[-1, -2], [-1, 0], [0, 0], [2, 1], [0, 1]])
 6 pca = PCA(n_components = 1)
 7 pca.fit(A)
 8 # 投影后的特征维度的方差比例
 9 print(pca.explained_variance_ratio_)
10 # 投影后的特征维度的方差
11 print(pca.explained_variance_)
12 print(pca.transform(A))

 可以发现,采用sklearn封装的方法实现PCA与上文的方法达到的结果一致!

10.如何确定主成分数量(针对于Sklearn封装的PCA方法而言)

PCA算法将D维数据降至K维,显然K是需要选择的参数,表示要保持信息的主成分数量。我们希望能够找到一个K值,既能大幅降低维度,又能最大限度地保持原有数据内部的结构信息。实现的过程是通过SVD方法得到的S矩阵进行操作求解,

 

11.sklearn中封装的PCA方法的使用介绍。

PCA的函数原型

 (1)主要参数介绍

n_components

copy

whiten

(2)主要方法介绍:

fit(X,y=None) :用训练数据X训练模型,由于PCA是无监督降维,因此y=None。 

transform(X,y=None) :对X进行降维。 

fit_transform(X) :用训练数据X训练模型,并对X进行降维。相当于先用fit(X),再用transform(X)。 

inverse_transform(X) :将降维后的数据转换成原始数据。(PCA的重建)

 (3)主要属性介绍:

components:array, shape (n_components, n_features) ,降维后各主成分方向,并按照各主成分的方差值大小排序。 

explained_variance:array, shape (n_components,) ,降维后各主成分的方差值,方差值越大,越主要。 

explained_variance_ratio:array, shape (n_components,) ,降维后的各主成分的方差值占总方差值的比例,比例越大,则越主要。 

singular_values:array, shape (n_components,) ,奇异值分解得到的前n_components个最大的奇异值。

 

 

参考资料:https://zhuanlan.zhihu.com/p/77151308?utm_source=qq&utm_medium=social&utm_oi=1095998405318430720

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